最小圆覆盖
给出平面上N个点，请求出一个半径最小的圆覆盖住所有的点
洛谷P1742 最小圆覆盖
洛谷P2533 [AHOI2012]信号塔
显然易证最优解的圆一定是以某两个点连线为直径的圆 或 某三个点组成的三角形的外接圆
初始将圆心定为第一个点，R=0
1.枚举第一个点 i，若点 i 不在目前圆内，设它为圆心，进入2
2.再枚举第二个点 j，若点 j 不在当前圆内，设当前圆为以 i,j 为直径的圆，进入3
3.枚举第三个点 k，若点 k 不在当前圆内，设当前圆为 i,j,k 的外接圆
看似 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3)的复杂度，但点集随机打乱后期望复杂度 O ( n ) O(n) O(n)，蒟蒻不会证
关于三点定圆
设三个点为 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x 3 , y 3 ) (x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3) (x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，圆心为 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)
带入圆的标准方程
{ ( x 1 − x 0 ) 2 + ( y 1 − y 0 ) 2 = r 2 ( x 2 − x 0 ) 2 + ( y 2 − y 0 ) 2 = r 2 ( x 3 − x 0 ) 2 + ( y 3 − y 0 ) 2 = r 2 \left\{\begin{aligned} (x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2=r^2 \\(x_2-x_0)^2+(y_2-y_0)^2=r^2\\ (x_3-x_0)^2+(y_3-y_0)^2=r^2 \end{aligned}\right. ⎩⎪⎨⎪⎧(x1−x0)2+(y1−y0)2=r2(x2−x0)2+(y2−y0)2=r2(x3−x0)2+(y3−y0)2=r2
②-①，③-②之后化简
{ ( x 2 − x 1 ) x 0 + ( y 2 − y 1 ) y 0 = ( x 2 2 − x 1 2 ) − ( y 1 2 − y 2 2 ) 2 ( x 3 − x 2 ) x 0 + ( y 3 − y 2 ) y 0 = ( x 3 2 − x 2 2 ) − ( y 2 2 − y 3 2 ) 2 \left\{\begin{aligned} (x_2-x_1)x_0+(y_2-y_1)y_0=\frac{(x_2^2-x_1^2)-(y_1^2-y_2^2)}{2} \\(x_3-x_2)x_0+(y_3-y_2)y_0=\frac{(x_3^2-x_2^2)-(y_2^2-y_3^2)}{2} \end{aligned}\right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧(x2−x1)x0+(y2−y1)y0=2(x22−x12)−(y12−y22)(x3−x2)x0+(y3−y2)y0=2(x32−x22)−(y22−y32)
解二元一次方程即可
a = x 2 − x 1 , b = y 2 − y 1 , c = x 3 − x 2 , d = y 3 − y 2 , e = ( x 2 2 − x 1 2 ) − ( y 1 2 − y 2 2 ) , f = ( x 3 2 − x 2 2 ) − ( y 2 2 − y 3 2 ) a=x_2-x_1,b=y_2-y_1,c=x_3-x_2,d=y_3-y_2,e=(x_2^2-x_1^2)-(y_1^2-y_2^2),f=(x_3^2-x_2^2)-(y_2^2-y_3^2) a=x2−x1,b=y2−y1,c=x3−x2,d=y3−y2,e=(x22−x12)−(y12−y22),f=(x32−x22)−(y22−y32)
x 0 = ( f ∗ b − e ∗ d ) / ( c ∗ b − a ∗ d ) / 2.0 , y 0 = ( a ∗ f − e ∗ c ) / ( a ∗ d − b ∗ c ) / 2.0 x_0=(f*b-e*d)/(c*b-a*d)/2.0,y_0=(a*f-e*c)/(a*d-b*c)/2.0 x0=(f∗b−e∗d)/(c∗b−a∗d)/2.0,y0=(a∗f−e∗c)/(a∗d−b∗c)/2.0
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