最小生成树（Kruskal算法）

 

最小生成树（Kruskal和Prim算法）

关于图的几个概念定义：

• 连通图：在无向图中，若任意两个顶点vi与vj都有路径相通，则称该无向图为连通图。
• 强连通图：在有向图中，若任意两个顶点vi与vj都有路径相通，则称该有向图为强连通图。
• 连通网：在连通图中，若图的边具有一定的意义，每一条边都对应着一个数，称为权；权代表着连接连个顶点的代价，称这种连通图叫做连通网。
• 生成树：一个连通图的生成树是指一个连通子图，它含有图中全部n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。一颗有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边，如果生成树中再添加一条边，则必定成环。
• 最小生成树：在连通网的所有生成树中，所有边的代价和最小的生成树，称为最小生成树。 
  

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下面介绍两种求最小生成树算法  prim算法在另一篇。

1.Kruskal算法

此算法可以称为“加边法”，初始最小生成树边数为0，每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边，加入到最小生成树的边集合里。 
1. 把图中的所有边按代价从小到大排序； 
2. 把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林； 
3. 按权值从小到大选择边，所选的边连接的两个顶点ui,vi,应属于两颗不同的树，则成为最小生成树的一条边，并将这两颗树合并作为一颗树。 
4. 重复(3),直到所有顶点都在一颗树内或者有n-1条边为止。

parent

1

5

8

7

7

8

7

0

6

代码：

//Kruskal（克鲁斯卡尔算法）生成最小生成树
int Find(int *parent, int f)
{
   while(parent[f]>0)
   {
       f = parent[f];
   }
   return f;
}
 
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph, G)
{
	int i, n, m;
	Edge edges[MAGEDGE];       //定义边集数据
	int parent[MAXVEX];        //定义parent数组用来判断边与边是否形成环路
	
	for(i=0;i

例：

输入

第1行：2个数N,M中间用空格分隔，N为点的数量，M为边的数量。（2 <= N <= 1000, 1 <= M <= 50000) 第2 - M + 1行：每行3个数S E W，分别表示M条边的2个顶点及权值。(1 <= S, E <= N，1 <= W <= 10000)

输出

输出最小生成树的所有边的权值之和。

输入示例

9 14
1 2 4
2 3 8
3 4 7
4 5 9
5 6 10
6 7 2
7 8 1
8 9 7
2 8 11
3 9 2
7 9 6
3 6 4
4 6 14
1 8 8
输出示例
37

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
int parent[10];
int n,m;
int i,j;

struct edge{
	int u,v,w; //边的顶点，权值
}edges[10];

//初始化并查集
void UFset(){
	for(i=1; i<=n; i++) parent[i] = -1;
}

//查找i的跟
int find(int i){
	int temp;
	//查找位置
	for(temp = i; parent[temp] >= 0; temp = parent[temp]);
	//压缩路径
	while(temp != i){
		int t = parent[i];
		parent[i] = temp;
		i = t;
	}
	return temp;
}
//合并两个元素a,b
void merge(int a,int b){
	int r1 = find(a);
	int r2 = find(b);
	int tmp = parent[r1] + parent[r2]; //两个集合节点数的和
	if(parent[r1] > parent[r2]){
		parent[r1] = r2;
		parent[r2] = tmp;
	}else{
		parent[r2] = r1;
		parent[r1] = tmp;
	}
}

void kruskal(){
	int sumWeight = 0;
	int num = 0;
	int u,v;
	UFset();
	for(int i=0; iw - e2->w;
}

int main() {

	scanf("%d %d", &n, &m);
	for(i=0; i

 结果：