6466. 【GDOI2020模拟02.09】矩阵求和
题目
题目大意不说了
思考历程
开始时感觉比赛三道题都不会做。
于是BFS式想题，
后来突然发现了一些不错的性质，一下子有了希望，认为自己能切。
可到最后才发现自己的核心部分还是没有想出来。
首先是一些简单的性质：
计算 K K K次前缀和后的和，就是 K + 1 K+1 K+1次前缀和之后最后一项的和。
计算前缀和的时候可以横着先计算若干次，竖着再计算若干次。
后面都考虑一维前缀和：
前缀和若干次之后每项的系数就不说了，打打表就能出来。（亏我比赛时用生成函数分析）
显然是一个线性的多项式。
假如我们把求 K K K次前缀和视为一种运算（就记作 s u m K ( A ) sum_K(A) sumK(A)把），那满足分配律 s u m K ( A + B ) = s u m K ( A ) + s u m K ( B ) sum_K(A+B)=sum_K(A)+sum_K(B) sumK(A+B)=sumK(A)+sumK(B)
这条东西是比较重要的。
对于每个行，我们都它看成一个整体。
行交换的时候，就是行的对应位置交换。
列交换的时候，就是每个行两个位置交换。
所有的权值都可以表示成 m i + j mi+j mi+j的形式，拆开来，分别计算 m i mi mi和 j j j的前缀和。对于 m i mi mi， m m m可以提出来，就是 i i i的前缀和。每行的 i i i都相同，对其中一行计算，出来的结果就是一个系数乘 i i i，这个系数在每一行都是一样的，提出来。接着再对列计算，就转成了求 i i i的一维前缀和， j j j类似。
所以我们只需要用个数据结构，分别维护行、列的一维前缀和。
比赛时打到最后突然发现自己不会维护，心态崩了……
正解
现在的问题就是怎么维护这个前缀和了。
以行为例，某一行第 i i i列的系数是： C K + x 2 − i K = ( K + x 2 − i ) K ‾ C_{K+x2-i}^{K}=(K+x_2-i)^{\underline{K}} CK+x2−iK=(K+x2−i)K
这个东西叫下降幂。
下降幂有个公式： x n ‾ = ∑ i = 0 n ( − 1 ) n − i s n i x i x^{\underline{n}}=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}s_n^ix^i xn=∑i=0n(−1)n−isnixi
s s s是第一类斯特林数。
至于怎么证明就百度去吧，用归纳法是可以证的，
用这个东西来推式子，最后会搞出这个东西：
∑ d = 0 K ( − 1 ) K − d s K d ∑ e = 0 d ( x 2 + k ) e ( − i ) d − e \sum_{d=0}^K(-1)^{K-d}s_K^d\sum_{e=0}^d(x_2+k)^e(-i)^{d-e} ∑d=0K(−1)K−dsKd∑e=0d(x2+k)e(−i)d−e
于是，维护 a i ∗ ( − i ) k a_i*(-i)^k ai∗(−i)k（ k ∈ [ 0 , 10 ] k\in [0,10] k∈[0,10]）的和就好了。
代码
using namespace std;
#include 总结
这是一道披着数据结构的皮的计数题……
看来还是要学一些强大的计数公式。