离散数学（4）——集合的概念和集合之间的关系、集合的运算、基本的集合恒等式

一、集合的表示

• 列举法：列出集合中的全体元素，元素之间用逗号分开，然后用花括号括起来

• 描述法：用谓词P(x)表示x具有性质P，用{x|P(x)}表示具有性质P的集合

• 注意事项：集合中的元素是各不相同的

  ​ 集合中的元素不规定顺序

  ​ 集合的两种表示法可以互相转化

• 常用的数集合：自然数集合N；整数集合Z；有理数集合Q；实数集合R；复数集合C

二、集合之间的关系

1、子集

• 设A,B为两集合，若B中的元素都是A中的元素，自称B是A的子集，也成A包含B，或B包含于A，记作B⊆A，其符号化形式为B⊆A⟺∀x(x∈B→x∈A)。

2、相等

• 设A,B为两集合，若A包含B且B包含A，则称A与B相等，记作A=B，即A=B⟺∀x(x∈B↔x∈A)

3、真子集

• 设A,B为两集合，若A为B的子集且A≠B，则称A为B的真子集，或称B真包含A，记作A⊂ B，即A⊂ B⟺A⊆B∧A≠B

4、空集

• 不拥有任何元素的集合称为空集合，简称为空集，记作Φ
• 空集是一切集合的子集
• 空集是唯一的，是最小的集合

5、全集

• 如果限定所讨论的集合都是某个集合的子集，则称该集合为全集，记作E
• 全集不唯一

6、幂集

• 设A为一个集合，称由A的全体子集组成的集合为A的幂集，记作P(A) 描述为P(A)={x|x⊆A}

• 集合的元素个数

  • 规定：Φ为0元集，含1个元素的集合为单元集或1元集，含两个元素的集合为2元集，…，含n个元素的集合为n 元集（n≥1）。用|A|表示集合A中的元素个数，当A中的元素个数为有限数是，A为有穷集或有限集
  • 设集合A的元素个数|A|=n，则|P(A)|=2^n

7、集族

• 除了P(A)外，还有其他形式的由集合构成的集合，统称为集族。若集族中的集合都赋予记号，则可得带指标集的集族
• 设δ为一个集族，S为一个集合，若对于任意的α∈S，存在唯一的A_α∈δ与之对应，而且δ中的任意集合都对应S中的某一个元素，则称δ是以S为指标集的集族，S称为δ的指标集。记为δ={A_α|α∈S}，或δ={A_α}_α∈S
• 如果把Φ看成集族，则称Φ为空集族

8、多重集

• 设全集为E，E中元素可以不止一次在A中出现的集合A称为多重集。若E中元素a在A中出现k次（k≥0），则称a在A中重复度为k
• 集合可看作重复度均小于等于1的多重集

三、集合的运算

1、并集

• 设A,B为两集合，称由A和B的所有元素组成的集合为A与B的并集，记作A∪B，称∪为并元算符，描述为A∪B={x|x∈A∨x∈B}

2、交集

• 设A,B为两集合，称由A和B的公共元素组成的集合为A与B的交集，记作A∩B，称∩为并元算符，描述为A∩B={x|x∈A∧x∈B}

3、不相交

• 设A,B为两集合，若A∩B=Φ，则称A和B是不交的
• 设A₁,A₂,…是可数多个集合，若对于任意的i≠j，都有A_i∩A_j=Φ，则称是互不相交的
• 设A_n={x∈R|n-11,A₂,…是互不相交的

4、相对补集

• 设A,B为两集合，称属于A而不属于B的全体元素组成的集合为B对A的相对补集，记作A-B

5、对称差

• 设A,B为两集合，称属于A二不属于B，或属于B而不属于A的全体元素组成的集合为A与B的对称差，记作A⊕B

6、绝对补集

• 设E为全集，A⊆E，称A对E的相对补集为A的绝对补集，记作~A

集合运算的优先级

• 第一类：绝对补、幂集、广义交、广义并

  ​ 第一类运算按照从右向左的顺序运算

• 第二类：初级并、初级交、想对补、对称差

  ​ 第二类运算按照括号决定的顺序运算，多个括号并排或没有括号的部分按照从左向右的顺序运算

四、基本的集合恒等式

设E是全集，A,B,C为E的任意子集

• 幂等律 A∪A=A，A∩A=A
• 交换律 A∪B=B∪A，A∩B=B∩A
• 结合律 （A∪B）∪C=A∪（B∪C），（A∩B）∩C=A∩（B∩C）
• 分配律 A∪（B∩C）=（A∩B）∪（A∩C），A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）
• 零率 A∪E=E，A∩Φ=Φ
• 同一律 A∪Φ=A，A∩E=A
• 排中律 A∪┐A=E
• 矛盾律 A∩┐A=Φ
• 补交转换律 A-B=A∩┐B
• 德摩根律 ┐（∪{A_α}_α∈s）=∩（┐A_α）