七桥问题和欧拉道路

问题的引出

• ➢柯尼斯堡七桥问题( Seven Bridges of Konigsberg )是图论中的著名问题。这个问题是基于一个现实生活中的事例:当时东普鲁士柯尼斯堡(今日俄罗斯加里宁格勒)市区跨普列戈利亚河两岸，河中心有两个小岛。小岛与河的两岸有七条桥连接。在所有桥都只能走一遍的前提下,如何才能把这个地方所有的桥都走遍?
• ➢能否从无向图中的一个结点出发走出一条道路,每条边恰好经过一次，这样的路线称为欧拉道路(一笔画 )。

基本定义和规律

• ➢如果一个无向图是连通的，且最多只有两个奇点(度数为奇数)，则一定存在欧拉道路
• ➢如果有两个奇点，它们必须是起点和终点
• ➢如果奇点不存在,可以从任意点出发,最终一定会回到该点 ，称为欧拉回路
• ➢对于有向图，欧拉道路存在的充要条件是：最多只能有两个点的入度不等于出度,而且必须是其中一一个点的出度恰好比入度大1 (起点) ,另一个的入度比出度大1 (终点)

实战演练：

打印出下图的欧拉道路的走法

解题思路：
  用邻接矩阵表示图，由于要形成欧拉道路，所以应该从度数为奇数的节点出发；开始进行深搜，在深搜的过程中做标记哪些边走过；可以另用一个相同的邻接矩阵做标记，也可以对原来的邻接矩阵进行修改。

代码如下：

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Stack;

public class 欧拉道路 {
	//图的邻接矩阵
	private static int[][] graph = {
		{0,1,2,1},
		{1,0,0,0},
		{2,0,0,1},
		{1,0,1,0},
	};
	private static int n = 4; //节点数
	private static List<String> l = new ArrayList<String>();
	//因为深搜时是先存储后面的路径，所以用栈进行存储
	private static Stack<String>  path = new Stack<String>();
	
	public static void main(String[] args) {
		//从节点数为奇数的开始进行深搜，C的度数为3，所以从C节点开始深搜
		dfs(2);
		while(!path.isEmpty()){
			System.out.println(path.pop());
		}
	}

	private static void dfs(int i) {
		//寻找相邻的节点，且边没有使用过
		for(int j=0; j<n; j++){
			if(graph[i][j]>0){  //右边且没有使用过
				//减去使用过的边
				graph[i][j]--;
				graph[j][i]--;
				dfs(j);
				//添加走过的路径必须放到深搜后，当深搜到终点时，反向的保存路径。
				//如果在深搜前添加路径，可能会将错误的路径给添加进去，
				//因为当走到一个只有一条边的节点时，会回溯
				path.push((char)('A'+i) +"->" + (char)('A'+j));
			}
		}
		
	}
}