全增量与全微分

全增量：
设函数 z=f(x,y) z = f ( x , y ) 在点 P(x,y) P ( x , y ) 的某邻域内有定义，则有 P2(x+Δx,y+Δy) P 2 ( x + Δ x , y + Δ y ) 为邻域内一点， P与P2 P 与 P 2 的函数值之差称为函数在点 P P 对应于自变量增量 Δx、Δy Δ x 、 Δ y 的全增量，记做 Δz Δ z ：

Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y) Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y )

全微分：

充分条件：
如果函数 z=f(x,y) z = f ( x , y ) 的偏导数 ∂z∂x、∂z∂y ∂ z ∂ x 、 ∂ z ∂ y 在点 (x,y) ( x , y ) 连续，那么该函数在该点可微分。
**(连续：多元函数的偏导数在一点连续是指：偏导数在该点的某个邻域内存在，于是偏导数在这个邻域内有定义，且这个函数求偏导后是连续的，则称函数在某点连续)

必要条件：
如果函数 z=f(x,y) z = f ( x , y ) 在点 x,y x , y 可微分，那么该函数在点 (x,y) ( x , y ) 的偏导数 ∂z∂x与∂z∂y ∂ z ∂ x 与 ∂ z ∂ y 必定存在，且函数 z=f(x,y) z = f ( x , y ) 在点 (x,y) ( x , y ) 的全微分等于它的所有偏微分之和：

dz=∂z∂xΔx+∂z∂yΔy=∂z∂xdx+∂z∂ydy d z = ∂ z ∂ x Δ x + ∂ z ∂ y Δ y = ∂ z ∂ x d x + ∂ z ∂ y d y