B树的生成

B树的生成
flyfish 2015-7-19
从空树开始构建一棵B树 逐个插入关键字

规则：

除根结点之外的所有非终端结点至少有 ⌈m/2⌉ 棵子树，所以关键字的个数必须 n为关键字个数
⌈m/2⌉-1 ⩽ n。
按照A0，K1，A1，K2，A2，…，Kn，An
也就是指针个数比关键字个数多一个

因为树中每个结点至多有m 棵子树，所以该结点的关键字个数不能超过m-1

也就是，关键字个数的阈值 ⌈m/2⌉−1 ⩽n ⩽m−1

每次插入一个关键字不是在树中添加一个叶子结点，因为这样不再是有效的B树而是首先在最低层的某个非终端结点中添加一个关键字，若该结点的关键字个数不超过m-1，则插入完成，否则要产生结点的“分裂”

绿色：关键字个数
红色：指针
蓝色：关键字
构建Degree为3关键字从1到7的B树

一般情况下，结点可如下实现分裂 引用自严蔚敏《数据结构》

假设*p结点中已有m-1个关键字，当插入一个关键字之后，结点中含有信息为：

（m， A0 ，( K1 ， A1 )，…，( Km ， Am )

且其中 Ki < Ki + 1 ， 1 ⩽ i< m

此时可将*P节点分裂为*P和*P’两个结点,

*p结点中含有信息

⌈m/2⌉ -1， A0 ，( K1 ， A1 )，…，( K⌈m/2⌉ − 1 ， A⌈m/2⌉ − 1 )

*p’结点中含有信息

m- ⌈m/2⌉ ， A⌈m/2⌉ ，( K⌈m/2⌉ + 1 ， A⌈m/2⌉ + 1 ),… ,( Km ， Am )

而关键字K ⌈m/2⌉ 和指针*p’一起插入到*p的双亲结点中.

简化理解
m为B树的阶,n为节点的个数

若在一个包含 n<m−1 个关键字的结点中插入一个新的关键字，则把新的关键字直接插入该结点即可；

但若把一个新的关键字插入到包含m-1个关键字的结点中，则将引起结点的分裂。

生成一新结点,把原结点上的关键字K按升序排序,也就是 Ki < Ki + 1 ，
满足：左边的小于中间的关键字；右边的大于中间的关键字，从中间位置把关键字（不包括中间位置的关键字）分成两部分。

左部分所含关键字放在旧结点中，右部分所含关键字放在新结点中，中间位置的关键字连同新结点的存储位置（指向新节点的指针）插入到双亲结点中。如果双亲结点的关键字个数也超过m-1，则要再分裂，再往上插入，此时B树可能朝着根的方向生长。