数据库2-第二章：关系数据库及关系演算

第五讲：关系数据结构及关系完整性

关系数据结构

笛卡尔积

• 笛卡尔积：给定一组域D₁,D₂,…,D_n,允许其中某些域是相同的。
  1.其笛卡尔积是：$$D_1\times D_2\times ...\times D_n=\{(d_1,d_2,...d_n)\mid d_i\in D_i,i=1,2,...,n\}$$
  2. 所有域的所有取值的任意组合，笛卡尔积可以看着是关系的“域”
  3.基数：若D_i(i=1,2,…n)为有限集，其基数为m_i(i=1,2,…,n),则 $D_1\times D_2\times ...\times D_n$的基数M为：$$M=\prod _{i=1}^n{m}_i$$
• 笛卡尔积的表示方法
  • 笛卡尔积可表示为一张二维表
  • 表中的每行对应一个元组，表中的每列对应一个域

关系数据结构

域：

域是一组具有相同数据类型的值的集合。如：整数、实数等

关系：(笛卡尔的一个子集)

$D_1\times D_2\times ...\times D_n$的子集叫做在域D₁,D₂…D_n上的关系，表示为R(D₁,D₂…D_n)。R:关系名。n：关系的目或度

• 元组：关系中的每个元素，二维表中的一行（d₁,d₂,…,d_n）叫作一个n元组或简称元组，通常用t表示
• 元组中的一个元素为分量
• 属性：表中的一列
  1. 关系中不同的列可以对应相同的域.
  2. 为了加以区分，必须对每列起一个名字，称为属性
  3. n目关系必有n个属性
• 码：(1)候选码：关系中的某一属性组的值可唯一标示一个元组。则该属性组为候选码。(2)全码：最极端的情况，关系模的所有属性组是这个关系模式的候选码
  
• 关系定义在单个属性上的为单元关系，定义在两个属性上的为二元关系
• 基本关系的性质
  1.列是同质的
  2.不同的列可出自同一个域
  3.列的顺序无所谓，列的次序可任意交换
  4.任意两个元组的候选码不能相同
  5.行的顺序无所谓，次序可任意交换
  6.分量必须取原子值（基本原则）
  7.关系必须是笛卡尔集的某个子集才有实际意义。

关系模式

• 关系模式是型，关系是值。
• 关系模式是对关系的描述
  • 元组集合的结构：1.属性的构成2.属性来自的域3.属性和域之间的映象关系
  • 完整性约束条件
• 关系模式可以形式化地表示为：
  R(U,D,DOM,F)。
  R为关系名，
  U为组成该关系的属性名集合，
  D为U中属性所来自的域，
  DOM为属性向域的映象集合，
  F为属性间数据的依赖关系的集合
  域名及属性向域的映像常常直接说明为属性的类型、长度

关系完整性约束

• 实体完整性和参照完整性：关系模型必须满足的完整性约束条件称为关系的两个不变性，应由关系系统自动支持
• 用户定义的完整性:应用领域需要遵循的约束条件，体现了具体领域中的语义约束

实体完整性

• 关系的主码中的属性即主属性不能取空（无意义，不存在为空值），主码要在关系模型中做唯一标示的

参照完整性

• 参照完整性：在关系模型中实体积实体间的联系都是用关系来描述的，自然存在着关系与关系间的引用
  • 设F是基本关系R的一个或一组属性，但不是关系R的码。若F与基本关系S的主码K_s 相对应，则称F是R的外码。外码取值必须满足参照完整性。
  • 基本关系R称为参照关系，基本关系S称为被参照关系或目标关系
    • 外码F可以取空值（F的每个属性均为空值）
    • 外码F可以等于S中某个元组的主码值

用户定义的完整性

• 针对某一具体关系数据库的约束条件，反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求
• 关系模型应提供定义和检验这类完整性的机制，以便用统一的系统的方法处理它们，而不需由应用承担这一功能

关系代数

传统集合操作

• 关系代数语言
  • 用对关系的运算来表达查询要求
• 关系演算语言：用谓词来表达查询要求
  • 元组关系演算语言
    • 谓词变元的基本对象是元组变量
    • 代表：APLHA，QUEL
  • 域关系演算语言
    • 谓词变元的基本对象是域变量
    • 代表：QBE
• 具有关系代数和关系演算双重特点的语言
  • 代表：SQL

关系代数

• 关系代数：抽象查询语言，对关系的运算来表达查询
• 关系代数
  • 运算对象是关系，结果是关系
  • 运算符有两类：集合运算符和专门的关系运算符
    

传统的集合运算

• 传统的集合运算主要指并、交、差、广义笛卡尔积四种运算
• 要求参与运算的两个关系必须是相容的
• 相容：两个关系的列数(目)相同，对应的属性列出自同一个域。
• 并交差都以行来运算
• 并：去掉重复行
• 差：R-S——>R中减去S中相同的元组
  
• 广义笛卡尔积：n目的关系R，和m目的关系S的广义笛卡尔积为n+m关系，记为R$\times$S。其中前n个属性为R的属性集，前m个属性为S的属性集合且R$\times$S中的每个元组为每一个R元组和所有S元组的组合。所有可能属性以行连接运算

专门的关系运算

选择

选择：水平上选符号条件F的元组，结果为原有关系的子集，在关系R中选择满足给定条件的元组，组成一个新的关系。${\sigma }_F（R）$：在R中选，满足F条件的

查询图书关系中单价大于50元的图书信息
${\sigma }_{单价>50}（图书）$

投影

• 投影：从关系R上选取若干属性列A，并删除重复行，组成新的关系。(从列的角度计算)。记做：${\Pi }_A(R)$
  投影中下标处多个属性的用逗号相隔。

图书馆管理系统
（1）查询图书关系中所有图书的书名及出版社。
解： 仅涉及目标属性书名与出版社，并无选择条件，是投影。则
${\Pi }_{书名，出版社}(图书)$
（2）查询书名为”大学英语“的作者及库存数量。
解：涉及选择条件为”大学英语“，且有明确的目标属性要求，故既要选择又要投影。
${\Pi }_{作者，库存量}({\sigma }_{书名=‘大学英语’}(图书))$

连接：

连接操作是由选择和笛卡尔积操作组合而成的。

• 等值连接:$R\underset{A=B}{\bowtie }S$
   从关系R和S的广义笛卡尔积中选取A、B属性组值相等的那些元组(行)
   ①求R$\times$S。②选择R和S公共属性相同的元组。
• 自然连接：$R\bowtie S$
   是一种特殊的等值连接；在R$\times$S中，选取公共属性上具有相同值得元组，并去掉相同的属性列，组成新关系。两个关系通过共有的属性，即表的某一列进行连接。
   R与S中的公共属性即属性集的交集(相同名称与类型)；在结果中把重复的属性列去掉。
   ①求R$\times$S。②选择R和S公共属性相同的元组。③在等值连接计算基础上去掉重复的属性列。
  

除:

$R÷S$的结果是，一个关系某些元组，拥有另一个关系的某一字段的所有值。

• 一般求全部B的A用除，A÷B
   $R÷S$,设R为r元关系，表示R(X,Y)，S为s元关系，表示S(Y)，其中X，Y可以是单个属性或属性集，当t_r[x]=x时，x在R中的象集Y_x定义为$$Y_x=\{t_r[Y]\mid t_r\in R\bigwedge t_r[X]=x\}$$
  除法定义为$$R÷S=\{t_r[X]\mid t_r\in R\bigwedge S(Y)\subseteq Y_x\}$$
   $R÷S$的结果可以表示为P(X)，P(X)是关系R中属性列上的投影构成，但要满足X属性值在Y上的象集包含S(Y)的条件。
  
• 象集的本质是一次选择行的运算和一次选择列的运算
• 求x1在表A中的象集，就是先选出所有x属性中x=x1的那些行，然后选择出不包含x1的那些列
  R$÷$S除法三步走：
  1. 找出表S中与R属性相同的那些列，抽出来
  2. 求表R中某个A属性各个不同的x值对应的象集
  3. 找到x的所有值，这个x要满足：表S是x的象集的子集，(写关系S在其某些属性B、C上的投影集。找罗列出的某个值对应的象集包含关系S的投影集)这就是R$÷$S的结果

例题：

解答：

例题2


小结：

关系运算的练习与感悟

• 找出其中的某一属性——利用投影
• 连接是两种表连接，两表要有公共属性才能连
• 一道题中的目标一般用投影，条件一般用选择
• 否定形式的题直接用$\ne$是会有问题的
• 问即…又…的题，不能用且($\bigwedge$)直接连在一起再运算，但或的可以用($\bigvee$)

例如

例2：

选课表

学号	课程号	成绩
1801	C1	80

计算机是一行一行扫描的，据表分析，则若写为${\Pi }_{学号}({\sigma }_{课程号=‘C2’\bigcap 课程号=‘C3’}(选课))$是错误的写法，但若题目为或则可相应的改为并这样写

关系演算

要求元组关系演算会看会写，域理解

• 以数理逻辑中的谓词演算为基础
• 按谓词变元不同进行分类
  • 1.元组关系演算：以元组变量为谓词变元的基本对象。如ALPHA语言
  • 2.域关系演算 ：以域变量为谓词变元的基本对象，如：QBE
    元组：某行
    域：某列

元组关系演算

一般形式：{t|$\Phi$(t)},其中t是元组变量，$\Phi$(t)为元组关系演算公式，t要满足该公式
1.原子公式
(1)R(t);表示t是R的一个元组
(2)t[i]$\theta$u[j];其中$\theta$比较运算符，t[i]$\theta$u[j]表示t元组的第i个分量与u元组的第j个分量满足比较符$\theta$条件
(3)t[i]$\theta$c或c $\theta$t[i];表示t元组的第i个分量与常量c满足比较符$\theta$条件

上题中公式的含义：存在读者任意借阅…

• 其中u[1]=v[1]表示借阅表和读者表，两表自然连接；
• v[2]$\ne$‘JSJ14001’表示借阅表的第二个分量不等于JSJ14001;
• t[1]=u[1]将该元组的第一分量目标u[1]送给t输出

域关系演算

将原来元组变量换为域变量，按列来看

有三列，关系来自R，第一个分量=d，第三个分量＜8

u₂=‘JSJ14001’是条件，t₁=u₁是目标

练习题

实例练习—假设tsxs数据库有3个关系模式：

顾客（顾客编号，姓名，年龄，性别，收货地址）
图书（图书编号，书名，出版社，单价，库存量）
购买（顾客编号，图书编号，购买金额）

1.用关系代数表达式实现下列（1）—（5）小题：

(1)查询顾客姓名为“刘振”的收货地址。
${\Pi }_{收货地址}({\sigma }_{姓名{=}^{\prime }刘{振}^{\prime }}(顾客))$

(2)查询30岁以下女性顾客的信息。
${\sigma }_{年龄<30\wedge 性别{=}^{\prime }{女}^{\prime }}（顾客)$

(3) 查询“use102”购买的图书名称和单价。
${\Pi }_{书名，单价}({\sigma }_{顾客编号{=}^{\prime }use102^{\prime }}(购买)\bowtie 图书)$

(4)查询购买了图书“考研冲刺”的顾客姓名。
${\Pi }_{姓名}({\sigma }_{书名{=}^{\prime }考研冲{刺}^{\prime }}(图书)\bowtie 购买\bowtie 顾客)$

(5)查询购买了全部图书的顾客编号。
${\Pi }_{顾客编号，图书编号}(购买)÷{\Pi }_{图书编号}(图书)$

2.用元组关系演算实现下列小题：

(6)查询50岁以上性别为“男”的顾客姓名。
$\{t|(\exists u)(顾客(u)\wedge u[3]>50\wedge u[4]{=}^{\prime }{男}^{\prime }\wedge t[1]=u[2])\}$

(7)查询“use102”购买的图书名称和单价。
$\{t|(\exists u)(\exists v)(图书(u)\wedge 购买(v)\wedge u[1]=v[2]\wedge v[1]{=}^{\prime }use102^{\prime }\wedge t[1]=u[2]\wedge t[2]=u[4])\}$