[算法导论] 递归式求解的三种方法

       求解递归式，《算法导论》上给出了三种方法，不过对我而言，递归树法和主方法往往更加有效。给出的建议是，先用主方法求解，如果不能使用的情况尝试用递归树求解，如果还不行只有用代入法。代入法作为一种求解+证明的方法需要我们猜测解的形式，比较麻烦。

（一）代换法：

       实质上就是数学归纳法，先对一个小的值做假设，然后推测更大的值得正确性。

       1.猜测解的形式；

       2.用数学归纳法求出解中的常数，并证明解是正确的。

       例子就不举了，算法导论上有许多例子，事实上，这不是首选的方法，因为猜测解的形式非常的难，需要积累许多求解的经验。

（二）递归树方法：

       利用递归树方法求算法复杂度，其实是提供了一个好的猜测，简单而直观。在递归树中，每一个结点表示一个单一问题的代价，子问题对应某次递归函数调用。我们将树中每层中的代价求和，得到每层代价，然后将所有层的代价求和，得到所有层次的递归调用总代价。

       递归树最适合用来生成好的猜测，然后可用代入法来验证猜测是否正确。当使用递归树来生成好的猜测时，常常要忍受一点儿“不精确”，因为关注的是如何寻找解的一个上界。

      举例：

      根据上式我们建立递归式T(n) = 3T(n / 4) + cn^2，建立下列递归树模型：（参见算法导论）

       在递归树中，每一个结点都代表一个子代价，每层的代价是该层所有子代价的总和，总问题的代价就是所有层的代价总和。所以，我们利用递归树求解代价，只要知道每一层的代价和层数即可。

       这些，都需要直观的找出规律，以上图为例，当递归调用到叶子T(1)时所用到的递归次数就是整棵递归树的深度。我们从图中可以得到第i层的结点的代价为n/(4^i)，当n/(4^i)=1即i = log4(n)时，递归到达了叶子，故整棵递归树的深度为log4(n)。总代价是所有层代价的总和，T(n)=cn^2+3/16*c*n^2+···结果为O(n^2)。计算过程详见算法导论。用到了一些几何级数相关的知识略微放大上界。

       注意到递归树并非都是这样：每一层的结点都是相同的结构！我们在构造递归树以及计算代价的时候要特别注意。

（三）主方法（首推）：

       我们只需要记住主定理的三种情况，并且在满足一定的条件下，就可以速度解出递归式。

       
      将余项f(n)与函数进行比较， 直觉上来说两个函数的较大者决定了递归式的解，如果两个函数相当，则乘上一个对数因子logn。

      需要注意的是主方法并没有覆盖所有可能性，所有的大于和小于都是多项式意义上的大于和小于，对于有些递归式夹在三种情况的间隙中，是无法用主方法来求解的。下面解释一下什么是多项式意义上的小于和大于：

     f(x)多项式大于g(x):存在实数e>0,使得f(x)>g(x)*n^e
     f(x)多项式小于g(x):存在实数e>0,使得f(x)

     PS：能找到这样的e就说明存在啦，下面是在word中敲出来的，如有错误，望来信告知。