JoyOI1008 NOIP2008传球游戏

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题目背景

NOIP2008复赛普及组第三题

题目描述

上体育课的时候，小蛮的老师经常带着同学们一起做游戏。这次，老师带着同学们一起做传球游戏。 

游戏规则是这样的：n个同学站成一个圆圈，其中的一个同学手里拿着一个球，当老师吹哨子时开始传球，每个同学可以把球传给自己左右的两个同学中的一个（左右任意），当老师再次吹哨子时，传球停止，此时，拿着球没传出去的那个同学就是败者，要给大家表演一个节目。 

聪明的小蛮提出一个有趣的问题：有多少种不同的传球方法可以使得从小蛮手里开始传的球，传了m次以后，又回到小蛮手里。两种传球的方法被视作不同的方法，当且仅当这两种方法中，接到球的同学按接球顺序组成的序列是不同的。比如有3个同学1号、2号、3号，并假设小蛮为1号，球传了3次回到小蛮手里的方式有1->2->3->1和1->3->2->1，共2种。 
 

输入格式

输入文件ball.in共一行，有两个用空格隔开的整数n，m（3<=n<=30，1<=m<=30）。 

输出格式

输出文件ball.out共一行，有一个整数，表示符合题意的方法数。 

提示

40%的数据满足：3<=n<=30，1<=m<=20 
100%的数据满足：3<=n<=30，1<=m<=30

意思：有K个人相互传球，从甲开始到甲结束，传N次球。（注，自己不能传给自己）

分析与解答：设第n次传球后，球又回到甲手中的传球方法有a[n]种，可以想象前n-1次传球，如果每一次传球都任选其他K-1人中的一人进行传球，也就是每次传球都有K-1种可能，由乘法原理，共有(K-1)^(n-1)种 。这些传球方式并不完全符合条件，分为两类：一类是第n-1次恰好传到甲手中，有a[n-1]种，不符合条件，因为这样第n次就不能再传给甲了；另一类是第n-1次没在甲手里，第n次持球人再将球传给甲有a[n]种方法,根据加法原理有a[n-1]+a[n]=(K-1)^(n-1)由于甲是发球者，所以a[1]=0;利用递推关系可得

思路：an(n表示传n次球,回到甲手中的次数);

          a1=0;

          a2=(K-1)^1-a1;

          a3=(K-1)^2-a2;

          a4=(K-1)^3-a3;

          ......

大牛

用f(i,j)表示前i次传球，传给j的方案数

则f(i,j)=>f(i+1,j+1)
f(i,j)=>f(i+1,j−1)
边界f(0,1)=1

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int n,m;
int f[35][35];
int g(int x)
{
    if(x<1)return x+n;
    if(x>n)return x-n;
    return x;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    f[0][1]=1;
    for(int i=0;i<=m;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            f[i+1][g(j+1)]+=f[i][j];
            f[i+1][g(j-1)]+=f[i][j];
        }
    printf("%d\n",f[m][1]);
    return 0;
}

举个例子比如有五个人围成一圈，要求第三秒回到自己手中。   
题目要求第m秒回到自己手中的可能，第0秒的时候球在自己手中，自己可以选择往左传（给5）还是往右传（给2），第一秒的时候就会有两种可能（2和5），到第二秒2可以向左和右传，同样5也可以，如果这样递归下去肯定会超时，但是我们可以这样想，若第m秒要传到自己手中，那么第m-1秒必须在2和5的位置中的一个，那么m-1秒在2的话，m-2秒必须要在1和3的位置，如果是m-1秒在5的位置，那么m-2秒必须在1和4中的一个。由此我们可以得到状态转移方程dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j+1];要注意一下边界，因为是环状的，所以每次开头减一就到了末尾，末尾加一就到了开头。

#include
#include
#include
using namespace std;
int dp[31][31];
int main()
{
    int i,j,n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        dp[0][1]=1;
        for(i=1;i<=m;i++)
        {
            dp[i][1]=dp[i-1][n]+dp[i-1][2];
            for(j=2;j

另一种思路：

传球到自己手中只有两种可能性，就是从第i+1人手中或i-1手中传到自己手中，得到状态转移方程：f[i][j] = f[i-1][j-1]+f[i+1][j-1]。

#include 
#include 
 
 
using namespace std;
 
 
int n,m,ans[35][35];
 
 
int main() {
    cin>>n>>m;
    memset(ans,0,sizeof(ans));
    ans[1][0] = 1;
    for (int i = 1; i<=m; i++) {
        ans[1][i] = ans[2][i-1]+ans[n][i-1];
        ans[n][i] = ans[n-1][i-1]+ans[1][i-1];
        for (int j = 2; j