力扣每日一题 96. 不同的二叉搜索树

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees
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思路

$F(i,n)=G(i-1)\cdot G(n-i)$

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> G(n + 1, 0);
        G[0] = 1;
        G[1] = 1;

        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= i; ++j) {
                G[i] += G[j - 1] * G[i - j];
            }
        }
        return G[n];
    }
};

此总时间复杂度为 $O(n^2)$

空间复杂度 : $O(n^2)$

事实上我们在方法一中推导出的 G(n)G(n)函数的值在数学上被称为卡塔兰数更便于计算的定义如下:

​

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        long long leaf0 = 1,leaf1 = 1;
       
        if(n==0 || n==1)
        {
            return 1;
        }
        for(int i = 1;i < n;i++)
        {
            leaf1 = 2*(2*i+1)*leaf0/(i+2);
            leaf0 = leaf1;
        }
        return leaf0;
    }
};