设u1,u2 ⋯ \cdots ⋯un ⋯ \cdots ⋯是一个数列,则 ∑ n = 1 ∞ \sum_{n=1}^\infty ∑n=1∞un称为级数。un为级数的通项(一般项)Sn = ∑ n = 1 n \sum_{n=1}^n ∑n=1nuk 为级数的前n项部分和。
若有 lim n → ∞ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} n→∞limSn = S,则称级数收敛,S为级数的和,即 ∑ n = 1 ∞ \sum_{n=1}^\infty ∑n=1∞un = S,反之,称级数发散。
若级数收敛,则rn = ∑ k = n + 1 ∞ \sum_{k=n+1}^\infty ∑k=n+1∞uk = S - Sn 为级数余和,且 lim n → ∞ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} n→∞limrn = 0。
若级数 ∑ n = 1 ∞ \sum_{n=1}^\infty ∑n=1∞un 收敛,则 lim n → ∞ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} n→∞limun = 0(一般项是无穷小)。
逆否命题: lim n → ∞ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} n→∞limun ≠ \ne = 0 或不存在 ⇒ \Rightarrow ⇒ 级数发散。
注: lim n → ∞ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} n→∞limun = 0不一定能导出级数收敛(必要条件)。
例: ∑ n = 1 ∞ 1 n \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} ∑n=1∞n1
解:
Sn = 1 + 1 2 \frac{1}{2} 21 + 1 3 \frac{1}{3} 31 + 1 4 \frac{1}{4} 41 + ⋯ \cdots ⋯ + 1 n \frac{1}{n} n1
un = 1 n \frac{1}{n} n1 ⇒ \Rightarrow ⇒ lim n → ∞ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} n→∞limun = 0
故
S2^k = 1 + 1 2 \frac{1}{2} 21 + 1 3 \frac{1}{3} 31 + 1 4 \frac{1}{4} 41 + 1 5 \frac{1}{5} 51 + ⋯ \cdots ⋯ + 1 8 \frac{1}{8} 81 + 1 9 \frac{1}{9} 91 + ⋯ \cdots ⋯ + 1 16 \frac{1}{16} 161 + 1 2 k − 1 \frac{1}{2^{k-1}} 2k−11 + 1 2 k − 1 + 1 \frac{1}{2^{k-1}+1} 2k−1+11 + ⋯ \cdots ⋯ + 1 2 k \frac{1}{2^k} 2k1 (S2^k是Sn的一个子列)
将 1 3 \frac{1}{3} 31 和 1 4 \frac{1}{4} 41 组合, 1 5 \frac{1}{5} 51 到 1 8 \frac{1}{8} 81 组合, 1 9 \frac{1}{9} 91 到 1 16 \frac{1}{16} 161 组合 ⋯ \cdots ⋯ 1 2 k − 1 + 1 \frac{1}{2^{k-1}+1} 2k−1+11 到 1 2 k \frac{1}{2^k} 2k1 组合。(性质3)
将 1 3 \frac{1}{3} 31 缩小成 1 4 \frac{1}{4} 41 , 1 5 \frac{1}{5} 51、 1 6 \frac{1}{6} 61、 1 7 \frac{1}{7} 71 缩小成 1 8 \frac{1}{8} 81,以此类推。(方法3)
故
S2^k > \gt > 1 + 1 2 \frac{1}{2} 21 + ( 1 4 \frac{1}{4} 41 + 1 4 \frac{1}{4} 41) + ( 1 8 \frac{1}{8} 81 + ⋯ \cdots ⋯ + 1 8 \frac{1}{8} 81) + ( 1 16 \frac{1}{16} 161 + ⋯ \cdots ⋯ + 1 16 \frac{1}{16} 161) + ⋯ \cdots ⋯ + ( 1 2 k \frac{1}{2^{k}} 2k1 + ⋯ \cdots ⋯ + 1 2 k \frac{1}{2^k} 2k1) = 1 + 1 2 \frac{1}{2} 21 + 1 2 \frac{1}{2} 21 + ⋯ \cdots ⋯ + 1 2 \frac{1}{2} 21 = 1 + k 2 \frac{k}{2} 2k → \rightarrow → + ∞ \infty ∞
故
S2^k → \rightarrow → + ∞ \infty ∞ ⇒ \Rightarrow ⇒ lim n → ∞ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} n→∞limSn 不存在。(发散)
需记忆级数(后用于级数收敛性比较):
∑ n = 1 ∞ 1 n p \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^p} ∑n=1∞np1 ∑ n = 1 ∞ a q n \sum_{n=1}^\infty aq^n ∑n=1∞aqn
补充性质:
一收敛级数与发散级数相加必为发散。
若两发散级数相加则不一定发散。
收敛级数去括弧后所成级数不一定收敛。
(补充性质3)例:
( 1 − 1 ) + ( 1 − 1 ) + (1-1)+(1-1)+ (1−1)+(1−1)+ ⋯ \cdots ⋯ = 0 =0 =0 收敛,但 1 − 1 + 1 − 1 + 1-1+1-1+ 1−1+1−1+ ⋯ \cdots ⋯ 发散。