母函数入门

今天好像终于对困惑已久的母函数有了些感觉的样子….赶紧水一波.jpg

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例一 骰子问题

掷两个清廉正直的骰子，点数之和为7的情况有多少？
我们来思考一下，嗯，7 = 1 + 6 = 2 + 5 = 3 + 4所以有6种。但是这样看上去一脸不爽的样子，所以我们不妨来搞一些事情。
令 f(x)=x+x2+x3+x4+x5+x6
那么
f(x)⋅f(x)=x2+2⋅x3+3⋅x4+4⋅x5+5⋅x6+6⋅x7+5⋅x8+4⋅x9+3⋅x10+2⋅x11+x12
好像很麻烦的样子，太不清真了。
但是倘若理性分析一波，就会神奇的发现，每一项系数对应的好像就是对应的方案数量。例如， x7 项系数对应是6，那么就有6种方法掷出来7。其实也很好理解啊，毕竟达到6这项就是通过和累加得来。
那么来思考一下：三个骰子掷出来和为10点的情况有多少？
仿照上面的方法，求一下 F(x)=f(n)3
得到这么一个式子：
x3+3⋅x4+6⋅x5+10⋅x6+15⋅x7+21⋅x8+25⋅x9+27⋅x10+27⋅x11+25⋅x12+21⋅x13+15⋅x14+10⋅x15+6⋅x16+3⋅x17+x18
当然是写代码复制粘贴.jpg
发现好像10前面的系数是27，所以应该有27种。

然后我们稍稍做个变形。现在有三个骰子，一个上面3个面写的是1、三个面写的是2，一个三个写的3、3个写的4，一个三个写的5、三个写的6，那么和是10的情况有多少种？（我们假定每个面是不同的）
我们对三个骰子分别建一个函数：
3x+3x2 ， 3x3+3x4 ， 3x5+3x6
那么
F(x)=(3x+3x2)(3x3+3x4)(3x5+3x6)=27⋅x9+81⋅x10+81⋅x11+27⋅x12
所以和为10有81种。
那么再来变形：如果骰子可以不投，仍然是3个，和为10的情况呢？
这就相当于我们加了一个 x0 项
F(x)=(1+x+x2)(1+x3+x4)(1+x5+x6)=1⋅x0+3⋅x1+3⋅x2+3⋅x3+12⋅x4+21⋅x5+21⋅x6+18⋅x7+18⋅x8+45⋅x9+90⋅x10+81⋅x11+27⋅x12
足足有90种！
还可以自己玩，这里姑且放个代码

#include 
using namespace std;
int t1[] = {1, 3, 3, 0, 0, 0, 0};
int t2[] = {1, 0, 0, 3, 3, 0, 0};
int t3[] = {1, 0, 0, 0, 0, 3, 3};
int main() {
    int n = 6;
    for(int i = 0; i <= (n * 3); ++i) {
        int ans = 0;
        for(int j = 0; j <= n; ++j) {
            for(int k = 0; k <= n; ++k) {
                for(int l = 0; l <= n; ++l) {
                    if(t1[j] && t2[k] && t3[l])
                        if(j + k + l == i)
                            ans += t1[j] * t2[k] * t3[l];
                } 

            }
        }
        if(ans) cout<"·"<<"x^{"<"}+";
    }
} 

稍微总结一下，其实我们可以想到这样的一个结论：
母函数其实是加法原理和乘法原理的一种体现，加法原理体现在每一个小的决策的情况枚举，例如上面的变形中对于第一个骰子有七种决策：不投，3种投到1，3种投到2。
而对于三枚骰子，我们的事件是独立的，所以用乘法。
下面给出严格的数学定义：

设从 n 元集合 S={a1,a2,...,an} 中，限定元素 ai 出现次数集合为 Mi ，那么该集合的母函数为

F(x)=∏i=1n(∑m∈Mixm)

例二 楼梯问题

用 n 块砖堆楼梯，要求：
1. 至少有两层
2. 每层楼梯数递增
3. 不能有两层楼梯数相同

这是一道经典的DP题，并且有各种状态设计。这里我们来用母函数解决。
考虑到选取第 i 块都有两种情况：选和不选，所以

F(x)=∏i=1n(1+xi)

那么现在我们就是要求解 F(x) 的第 n 项，事实上是个整数拆分问题的弱化版。
实现也很玄学：

ans[0] = ans[1] = 1;
for(int i = 2; i <= N; ++i)
    for(int j = N; j >= 0; --j)
        ans[i + j] += ans[j];
cout<1<

这里采用了顺推（刷表法）的手段，对于 i+j 的情况用 j 的情况来累加，这是由于。。好像不由于啥。
外层循环枚举拆分的第一个数，然后将剩余的值用已经推过的部分累加上去，而之所以内层要倒推的为了防止重复。而答案-1是因为这样统计会有一种一个台阶的情况，必须舍去。

例三 奇怪的数学题

六个数字，三个是1，两个是6，一个是8，能组成多少四位数？
顺着刚才的思路，可能你会写
F(x)=(1+x+x2+x3)(1+x+x2)(1+x)
然而并不是。
注意到这里某些不同选取会造成相同的结果，比如选取两个1。
所以我们给出指数形母函数：

F(x)=∏i=1n(∑m∈Mixmm!)

乍一看比较懵，其实含义只是普通的除以一个排列数以去重而已。应用到上例中，
Ge(x)=(1+x+x22!+x33!)(1+x+x22!)(1+x)
=1+3x+8x22!+19x33!+38x44!+60x55!+60x66!
所以有38种。

简单的介绍了一些母函数的皮毛（毕竟我也没有完全理解orz），总的来说母函数是一种非常漂亮的解决计数问题的工具。