一元四次方程的求解
一元四次方程的求解
- 0.引言
- 1.方法一
- 2.方法二
- 3.结论
0.引言
在学习过程中需要求解一个一元四次方程。
由于带有未知参数，本想使用MATLAB求解出它的解析解然后写入C++进行计算。后来发现求解出来的解太长。
要是直接放入C++中，通过解析解来实时求它的解甚至会比求解一元四次方程花费的时间更多。于是另谋出路，查阅资料如何求解一元四次方程。
1.方法一
Ferrari方法，这也是最容易Google到的方法。
- wiki
时间紧张原理就不看了，直接找实现。巧了，某百科上就有code.Link.
Ferrari.cpp
#include 测试系数：1,2,3,4,5
确保结果正确，使用matlab验证一下：
p = [1 2 3 4 5];
x = roots(p)
结果一致，OK。
2.方法二
使用多项式的伴随矩阵进行求解。
- ref
对于多项式： P ( x ) = x n + c n − 1 x n − 1 + c n − 2 x n − 2 + ⋯ + c 1 x + c 0 P(x) = x^n+c_{n-1}x^{n-1}+c_{n-2}x^{n-2}+\cdots+c_1x+c_0 P(x)=xn+cn−1xn−1+cn−2xn−2+⋯+c1x+c0
其伴随矩阵：
M x = [ 0 0 . . . 0 − c 0 1 0 . . . 0 − c 1 0 1 . . . 0 − c 2 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 . . . 1 − c n − 1 ] M_x = \left[\begin{array}{ccccc} 0 & {0} & {...} & {0} & {-c_0} \\ 1 &0 & {...} & {0} & {-c_1} \\ {0} & {1} & {...} & {0} & {-c_2} \\ { ...} & {...} & {...} & {...} & {...} \\ {0} & {0} & {...} & {1} & {-c_{n-1}} \end{array}\right] Mx=⎣⎢⎢⎢⎢⎡010...0001...0...............000...1−c0−c1−c2...−cn−1⎦⎥⎥⎥⎥⎤
的特征值就是 P ( x ) P(x) P(x)的根。
于是使用Eigen进行多项式的求解：
#include
std::cout<<"matrix_eigenvalues: "<<std::endl<<matrix_eigenvalues<<std::endl;
return 0;
}
结果与上面同样一致：
3.结论
数学功底越深厚，代码复杂度越低！！