(4)递归式求解的三种方法

1.代入法

步骤如下：

• 猜测解的形式
• 用数学归纳法求解中的常数，并证明解是正确的

比如我们求解，递归式T(n) = 2T(n/2)+n，

1.我们猜测解是O(nlgn),我们要寻找到一个常数c,使得T(n)<=cnlgn
2.证明：即T(n) <= 2c(n/2)lg(n/2)+n <= cnlgn-cnlg2+n = cnlgn-cn+n
只要c>=1,T(n)<=cnlgn,所以我们的猜测是正确的。

2.递归树方法

利用递归树方法求算法复杂度，其实是提供了一个好的猜测，简单而直观。在递归树中，每一个结点表示一个单一问题的代价，子问题对应某次递归函数调用。我们将树中每层中的代价求和，得到每层代价，然后将所有层的代价求和，得到所有层次的递归调用总代价。

递归树最适合用来生成好的猜测，然后可用代入法来验证猜测是否正确。当使用递归树来生成好的猜测时，常常要忍受一点儿“不精确”，因为关注的是如何寻找解的一个上界。

根据上式我们建立递归式T(n) = 3T(n / 4) + cn^2，建立下列递归树模型

递归树1.jpg

递归树2.jpg

在递归树中，每一个结点都代表一个子代价，每层的代价是该层所有子代价的总和，总问题的代价就是所有层的代价总和。所以，我们利用递归树求解代价，只要知道每一层的代价和层数即可。

这些，都需要直观的找出规律，以上图为例，当递归调用到叶子T(1)时所用到的递归次数就是整棵递归树的深度。我们从图中可以得到第i层的结点的代价为n/(4^i)，当n/(4i)=1即i = log4(n)时，递归到达了叶子，故整棵递归树的深度为log4(n)。总代价是所有层代价的总和，T(n)=cn^2+3/16*c*n2+···结果为O(n^2)。计算过程详见算法导论。用到了一些几何级数相关的知识略微放大上界。

注意到递归树并非都是这样：每一层的结点都是相同的结构！我们在构造递归树以及计算代价的时候要特别注意。

3.主方法(推荐)

主定理：令a>=1和b>1是常数，f(n)是一个函数，T(n)是定义在非负整数上的递归式：
　　　　　　　 T(n) = a * T(n/b) + f(n)
那么T(n)有如下渐近界：
1.若对某个常数ω>0有f(n) = O(n^log_ba), 则 T(n) = θ(n^log_ba)
2.若 f(n) = θ(n^log_ba), 则 T(n) = θ(n^log_balgn)
3.若对某人常数ω>0有 f(n) = Ω(n^log_ba+ω)， 且对某个常数 c<1 和所有足够大的 n,有 af(n/b) <=c f(n), 则 T(n) = θ(f(n))

例子如下

主方法例子.jpg