[组合数学] 第一类，第二类Stirling数，Bell数

一.第二类Stirling数

        定理：第二类Stirling数S(p,k)计数的是把p元素集合划分到k个不可区分的盒子里且没有空盒子的划分个数。

        证明：元素在拿些盒子并不重要，唯一重要的是各个盒子里装的是什么，而不管哪个盒子装了什么。

        递推公式有：S(p,p)=1 (p>=0)         S(p,0)=0  (p>=1)         S(p,k)=k*S(p-1,k)+S(p-1,k-1)   (1<=k<=p-1) 。考虑将前p个正整数，1，2，.....p的集合作为要被划分的集合，把

{1,2,.....p}分到k个非空且不可区分的盒子的划分有两种情况：

       (1)那些使得p自己单独在一个盒子的划分，存在有S(p-1,k-1)种划分个数

       (2)那些使得p不单独自己在一个盒子的划分，存在有 k*S(p-1,k)种划分个数

        考虑第二种情况，p不单独自己在一个盒子，也就是p和其他元素在一个集合里面，也就是说在没有放p之前，有p-1个元素已经分到了k个非空且不可区分的盒子里面（划

分个数为S(p-1,k），那么现在问题是把p放在哪个盒子里面呢，有k种选择，所以存在有k*S(p-1,k)。

       模板：

long long s[maxn][maxn];//存放要求的Stirling数
const long long mod=1e9+7;//取模

void init()//预处理
{
    memset(s,0,sizeof(s));
    s[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=maxn-1;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
    {
        s[i][j]=s[i-1][j-1]+j*s[i-1][j];
        if(s[i][j]>=mod)
            s[i][j]%=mod;
    }
}

       注意：要用long long类型，当元素个数>20，就超int类型了。

       扩展：k! *S(p,k) 计数的是把p元素集合划分到k个可区分的盒子里且没有空盒子的划分个数。

 

二.Bell数

        定理：Bell数B(p)是将p元素集合分到非空且不可区分盒子的划分个数（没有说分到几个盒子里面）。

        B(p)=S(p,0)+S(p,1)+.....+S(p,k) 

       所以要求Bell数就要先求出第二类Stiring数。

三.第一类Stirling数

       定理：第一类Stirling数s(p,k)计数的是把p个对象排成k个非空循环排列的方法数。

       证明：把上述定理叙述中的循环排列叫做圆圈。递推公式为：

       s(p,p)=1 (p>=0)    有p个人和p个圆圈，每个圆圈就只有一个人

       s(p,0)=0 (p>=1)    如果至少有1个人，那么任何的安排都至少包含一个圆圈

       s(p,k)=(p-1)*s(p-1,k)+s(p-1,k-1)

       设人被标上1,2,.....p。将这p个人排成k个圆圈有两种情况。第一种排法是在一个圆圈里只有标号为p的人自己，排法有s(p-1,k-1)个。第二种排法中，p至少和另一个人在一

个圆圈里。这些排法可以通过把1,2....p-1排成k个圆圈再把p放在1,2....p-1任何一人的左边得到，因此第二种类型的排法共有(p-1)*s(p-1,k)种排法。

       在证明中我们所做的就是把{1,2,...,p}划分到k个非空且不可区分的盒子，然后将每个盒子中的元素排成一个循环排列。

       模板：

long long s[maxn][maxn];//存放要求的第一类Stirling数
const long long mod=1e9+7;//取模

void init()//预处理
{
    memset(s,0,sizeof(s));
    s[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=maxn-1;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
    {
        s[i][j]=s[i-1][j-1]+(i-1)*s[i-1][j];
        if(s[i][j]>=mod)
            s[i][j]%=mod;
    }
}