POJ2411 轮廓线动态规划典型例题

Poj2411 Mondriaan's Dream

给出一个n*m的矩形，然后用1*2大小的多米若骨牌去填充n*m的这个矩形，问有多少种填充方法。

分析：典型的轮廓线动态规划题目。详见刘汝佳新书：算法竞赛入门经典：训练指南P384.

首先本题目是以一个一个的格子为基础来计算状态的，即每次都是考虑当前位置的格子如何放左上骨牌（以当前位置为最右下角，即只不放，左放，和上放3种情况，没有右放和下放）。且本题的状态都是一条一条的轮廓线。如图：

1	1	1	1	1
1	1	K4	K3	K2
K1	K0	O

令 为这5个数字对应的二进制值的十进制结果。K3K2K1K0O=11110表示由这5个格构成的轮廓线状态 如

K4 K3 K2 K1 K0 O 分别为： 0 1 1 1 1 0 时，

= 30, = 15

本题的状态为d[cur][]表示 当前以O格为末尾的轮廓线状态为的值对应二进制表示时且K3之前的所有格子的值都为1时构成上图所给状态的方法总数。其中 当前轮廓线为K3K2K1K0O，前一个轮廓线为K4K3K2K1K0。当前的轮廓线状态数用d[cur][ ]表示，前一个轮廓线状态数用d[1-cur][ ]表示。

现在初始时 K4K3K2K1K0O的值对应为 011110.

O格的每一种操作（不放，左方，上方）都会联系前后两种不同的轮廓线。

假设在O格放上骨牌，K4和O值都变为1，则d[cur][] =d[cur][<11111>]  +=d[1-cur][]=d[1-cur][<01111>] 这句话的意义是 在O格放上骨牌，则以O格为末尾的轮廓线为11111，且已放的格子情况为：

1	1	1	1	1
1	1	1	1	1
1	1	1

 

 

 

 

 

的时候有d[1-cur][<01111>]（这是一个整数值）这么多种情况是通过在轮廓线=<01111>的基础上，放O格上骨牌而产生来的。

假设在O格不放，K4的值不改变依然为0，如果执行：d[cur][] =d[cur][<11110>]  +=                            d[1-cur][]=d[1-cur][<01111>] 这样是非法的。因为不放O格，K4的值永远为0(K4的值如果为0只能通过O格放上骨牌来置1，O格之后的格子无论怎么放骨牌都不会改变K4的值)，所以如果执行上述非法操作，违反了关于d[cur][]的定义（要求K3之前所有格子的值都为1）.

 

假设在O格放左骨牌，也是非法操作，因为O格左边已经是1了，不可能放的下左骨牌。

且在首行不能上放，在首列不能左放。

 

最后当循环处理到第（n，m）格时，轮廓线为<11111>时表示轮廓线前面的n-1行也全是11111，所以最终结果为d[cur][<11111>]。

并且初始值为d[0][<11111>]=1，其他d[0][其他值]=0（其实这个可以不弄，因为首行不能上放，所以首行轮廓线状态数不可能会引用到d[0][01111]这样的初值。）。

 

AC代码：

#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 15;
long long d[2][1<n)swap(n,m);
        memset(d,0,sizeof(d));
        cur=0;
        d[cur][(1<