BZOJ-4589 FWT+生成函数+NIM博弈+快速幂

4589: Hard Nim

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Description
Claris和NanoApe在玩石子游戏，他们有n堆石子，规则如下：

1. Claris和NanoApe两个人轮流拿石子，Claris先拿。
2. 每次只能从一堆中取若干个，可将一堆全取走，但不可不取，拿到最后1颗石子的人获胜。
   不同的初始局面，决定了最终的获胜者，有些局面下先拿的Claris会赢，其余的局面Claris会负。
   Claris很好奇，如果这n堆石子满足每堆石子的初始数量是不超过m的质数，而且他们都会按照最优策略玩游戏，那么NanoApe能获胜的局面有多少种。
   由于答案可能很大，你只需要给出答案对10^9+7取模的值。

Input
输入文件包含多组数据，以EOF为结尾。
对于每组数据：
共一行两个正整数n和m。
每组数据有1<=n<=10^9, 2<=m<=50000。
不超过80组数据。

Output
Sample Input
3 7

4 13
Sample Output
6

120

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其实不难发现可以把题目转化为：n个数字，每个数字为小于等于m的质数，问总体异或为0的方案数。

就是一个简单的NIM博弈。

但是怎么求异或为0的方案数呢？FWT+生成函数。

答案就为 FWT多项式的 n-1 次幂，然后 x的0次方 的系数。

但是n很大，不能n次FWT，所以套个快速幂即可。

虽然东西比较多，但是都是比较简单的知识点，没什么深的运用。

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AC代码：

#pragma GCC optimize("-Ofast","-funroll-all-loops")
#include
//#define int long long
using namespace std;
const int N=5e4+10,mod=1e9+7;
int n,m,lim,vis[N],inv2=5e8+4;
int a[1<<16],b[1<<16];
void get(int n){
	vis[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){
			for(int j=i+i;j<=n;j+=i)	vis[j]=1;
		}
	}
}
inline void FWT(int *a,int flag){
	for(int i=2;i<=lim;i<<=1)
		for(int p=i>>1,j=0;j<lim;j+=i)
			for(int k=j;k<j+p;k++){
				int x=a[k],y=a[k+p];
				a[k]=(x+y)%mod,a[k+p]=(x-y+mod)%mod;
				if(flag==-1) a[k]=1LL*a[k]*inv2%mod,a[k+p]=1LL*a[k+p]*inv2%mod;
			}
}
void qmi(int *a,int *b,int k){
	FWT(a,1);	FWT(b,1);
	while(k){
		if(k&1)	for(int i=0;i<lim;i++)	a[i]=1LL*a[i]*b[i]%mod;
		for(int i=0;i<lim;i++)	b[i]=1LL*b[i]*b[i]%mod;
		k>>=1;
	}
	FWT(a,-1);
}
signed main(){
	get(5e4);
	while(cin>>n>>m){
		for(lim=1;lim<=m;lim<<=1);
		memset(a,0,sizeof a),memset(b,0,sizeof b);
		for(int i=1;i<=m;i++)	if(!vis[i])	a[i]=b[i]=1;
		qmi(a,b,n-1);
		printf("%d\n",a[0]);
	}
	return 0;
}