组合数学(母函数)

生成函数

定义

生成函数，英文是Generating Function。恕本人不才，本文只介绍生成函数的其中一种用法。

生成函数是说，构造这么一个多项式函数g(x)，使得x的n次方系数为f(n)。

对于母函数，我看到最多的是这样两句话：

• 1.“把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂对应起来。”

• 2.“把离散数列和幂级数一 一对应起来，把离散数列间的相互结合关系对应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来确定离散数列的构造。 “

其实这两句话我也不算太懂。先放这里，说不定以后可能会慢慢理解吧。

一个小栗子

• 还是先举个大牛博客中的例子吧：

• 有1克、2克、3克、4克砝码各一枚，问你能称出哪几种重量？每种重量各有几种方案？

下面是用母函数解决这个问题的思路：

• 首先，我们用X表示砝码，X的指数表示砝码的重量。那么，如果用函数表示每个砝码可以称的重量，

• 1个1克的砝码可以用函数X^0 + X^1表示，

• 1个2克的砝码可以用函数X^0 + X^2表示，

• 依次类推。

• 如果我们把上面2个多项式相乘，可以得到X^0 + X^1 + X^2 + X^{3。继续把它与X}0 + X^{3相乘，得到X}0 + X^1 + X^2 + 2*X^3 + X^4 + X^5 + X^6。

• 聪明的你，是不是发现了什么？

• 如果没有，接着把它与X^0+X4相乘，最后得到X^0 + X^1 + X^2 + 2X^3 + 2X^4 + 2X^5 + 2X^6 + 2*X^7 + X^8 + X^9 + X^10。

• 由于X的指数表示的是重量，所以，在相乘时，根据幂的运算法则（同底幂相乘，指数相加），得到的结果正是所有的方案。而且，每个X前面的系数代表它有几种方案。

• 真是神奇啊。。。。

• 需要注意的是，如果有2个1克的砝码，应该用X^0 + X^1 + X^{2表示，而不是X}0 + 2*X^1。

• 母函数还可以解决其他问题，比如，整数划分。

• 整数划分是个很经典的问题，划分规则就不再细述，直接说思路。与上面的问题相比，每种砝码的个数不再是1个，而是无限个。于是，

• 1克的砝码可以用X^0 + X^1 + X^2 + X^3 ……表示，

• 2克的砝码可以用X^0 + X^2 + X^4 + X^6……表示，

• 3克的砝码可以用X^0 + X^3 + X^6 + X^9……表示，

• 依次类推。

• 相乘后求出X^n的系数，就是结果。

• 总而言之，解决此类问题，只要模拟+好2个多项式相乘就好了。

• 大概思路是开2个数组，c1[ ]保存当前得到的多项式各项系数，c2[ ]保存每次计算时的临时结果，当每次计算完毕后，把它赋给c1，然后c2清零。

• 计算的时候，开3层for循环。最外层，记录它正在与第几个多项式相乘。第二层，表示c1中的每一项，第三层表示后面被乘多项式中的每一项。
  orz大佬的博客，(上面都来自大佬写的)
  原文链接：https://blog.csdn.net/dgq8211/article/details/7385718

3个糖栗子

[A 找单词]

• 来自 HDU2082
• 题面我就不复制了 ，想看点开链接看就行了。（没设密码）这两天可以来做做呦
• 题意就是尹文字符A-Z分别代表1-26，然后输入26个数分别代表多少个A-Z，然后求一共有多少种组合方式，使得和小于等于50

母函数

• 思路分析 ： 就是利用生成函数，求出x^1–50的系数，模拟一下多项式相乘，不明白的话看上面的小栗子，嘻嘻。具体而言就是三层循环
  第一层，循环从1-26，这26个字母当然可以吧他当成单价之类的东西，
  第二层，就是0-50 也就是 要求得的指数(就是组成的数) 你可能会问为什么是50，因为题中要求 不超过50了，所以50以后的没必要在进行枚举了。
  第三层，循环对应字母有几个，同时也可以优化一下，如果在枚举完字母个数之前指数已经大于50 直接进行下一层循环。

有一点特别注意一下就是初始值的问题，指数为零的初始值设为1，其他都为零，因为你要满是指数为零的系数为1 要不你的多项式相乘，不就没什么意思了吗？，当然最后，0的系数，不加进去，零不算单词

• 结合代码理解一下吧。
  中间有一个

memcpy(a,b,sizeof(b));

• 其实就是一个相当复制的函数，大家应该懂，不懂得话就csdn吧。
• 还有每次把b复制给a，把b清零，是将上一个字母的结果保存到a数组里，清零是下一次进行可以前面字母没放过，直接放这个字母。

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include
#include
#include
#include 
typedef long long ll;
using namespace std;
const int maxn=1e6+1010;
#define inf 0x3f3f3f3f
const int mod=998244353;

ll n,m,t,ans;
ll a[55],b[55],num[55];

int main() {
//	memcpy(a,b,sizeof(b));//将b复制到a数组
	cin>>t;
	while(t--){
		ll sum=0;
		for(int i=1;i<=26;i++)	
			cin>>num[i];//单词系数 
		memset(a,0,sizeof(a));
		memset(b,0,sizeof(b));
		a[0]=1;//初始值
		for(int i=1;i<=26;i++)//单词 
		{
			for(int j=0;j<=50;j++)//系数 
			{
				for(int k=0;k<=num[i]&&j+i*k<=50;k++)//次数 就是有几个这样的单词 
					b[j+i*k]+=a[j];
			}
			memcpy(a,b,sizeof(b));//把b中已经计算过的值复制到a数组上就是他现在的系数 
			memset(b,0,sizeof(b));//把b数组清零开始下一个单词的计算 
		 } 
		for(int i=1;i<=50;i++)	sum+=a[i];
		cout<<sum<<endl;; 
	}
	return 0;
}

另一解法背包方案数

感谢涛涛大佬提供。
直接出代码吧，好理解点
其实a数组开不开无所谓，开了好理解点。

#include//2019051463
#include
int main()
{
	int t,a[27],d[55],b[27],i,j,k;
	for(i=1;i<=26;i++)
	a[i]=i;
	scanf("%d",&t);
	while(t--)
	{
		int sum=0;
		memset(d,0,sizeof(d));
		d[0]=1;
		for(i=1;i<=26;i++)
		scanf("%d",&b[i]);
		for(i=1;i<=26;i++)
		{
			for(j=50;j>=a[i];j--)
			{
				for(k=1;k<=b[i];k++)
				{
					if(j-k*a[i]>=0)
                        d[j]+=d[j-k*a[i]];
				}
			}
        }
		for(i=1;i<=50;i++)
            sum+=d[i];
		printf("%d\n",sum);
	}
	return 0;
 }

[E - Ignatius and the Princess III]

来自HDU1028
同样，我就不复制题面了

• 题意分析:给出一个数，让你求出组成这个数的方式几种，(当然只有加啦)
  写下题中的小栗子便于理解
  4=4；
  4=1+3
  4=2+2
  4=1+1+2；
  4=1+1+1+1；
  所以组成四的方式有5种
  ==题中还给出了输入数的范围最大是120，
• 思路分析 这个题个上个题没啥大差距；就是界限改了改，因为最大是120所以直接把界限改成原本的就行了，当然害的按要求，人家的输入输出可不一样要求。只能说大体结构都一样
  看代码吧，其实没有代码也行，跟上面那个题的代码一样

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include
#include
#include
#include 
typedef long long ll;
using namespace std;
const int maxn=1e6+1010;
#define inf 0x3f3f3f3f
const int mod=998244353;

ll n,m,t,ans;
ll a[125],b[125];

int main() {
		ll sum=0;
		memset(a,0,sizeof(a));
		memset(b,0,sizeof(b));
		a[0]=1;//初始值
		for(int i=1;i<=120;i++)
		{
			for(int j=0;j<=120;j++)
			{
				for(int k=0;j+i*k<=120;k++)
					b[j+i*k]+=a[j];
			}
			memcpy(a,b,sizeof(b));//把b中已经计算过的值复制到a数组上就是他现在的系数 
			memset(b,0,sizeof(b));//把b数组清零开始下一个单词的计算 
		 }
		while(~scanf("%lld",&n)){
			cout<<a[n]<<endl;
		}
	return 0;
}

当然这个也可以用背包方案数。

[C - Holding Bin-Laden Captive!]

来自HDU1085

• 题意分析：就是 有1 2 5三种面值钱,输入，三个数分别表示，1,2,5的个数，求最小的不能用这些钱组成的数，

• 思路分析：这个题目明显比前两个难，就是没有给出明确的界限，然后就是不好限制他，所以这个题的难点就是找到那个限制点，剩下的就与上面相同了，首先，从1开始，他的边界一定就是1个数，2的边界就是原本那个数+22的个数，同样5也是这样，

• 所以代码就是这样子的

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include
#include
#include
#include 
typedef long long ll;
using namespace std;
const int maxn=1e6+1010;
#define inf 0x3f3f3f3f
const int mod=998244353;

ll n,m,t,ans;
ll a[8010],b[8010],num[55],c[4]= {0,1,2,5};

int	main() {
	while(scanf("%lld%lld%lld",&num[1],&num[2],&num[3])&&(num[1]||num[2]||num[3])) {
		memset(a,0,sizeof(a));
		memset(b,0,sizeof(b));
		ans=0;
		a[0]=1;
		for(int i=1; i<=3; i++) {
			ans+=num[i]*c[i];//这个就是那个边界。下面的与前两个题都一样了
			for(int j=0; j<=ans; j++) {
				for(int k=0; k<=num[i]&&j+k*c[i]<=ans; k++) {
					b[j+k*c[i]]+=a[j];
				}
			}
			memcpy(a,b,sizeof(b));
			memset(b,0,sizeof(b));
		}
		for(int i=1;;i++) if(a[i]==0) {
				cout<<i<<endl;
				break;
			}
	}
	return 0;
}

指数型母函数

来自大佬-JK Chen
博客链接

常用公式

这个是扩展