总结一下最短路径的贝尔曼-福特算法(Bellman-Ford)及用队列优化(spfa)
关于贝尔曼福特算法,假设有n个顶点，我们只需要遍历n-1轮就可以了，因为在一个含n个顶点的图中，任意两点之间的最短路径最多含有n-1条边, 什么原理，我就不讲了，网上大牛博客很多，我在这里上一点干货：
1.最原始的贝尔曼福特算法，时间复杂度为O（NM）：
再次学习
//板子
#include if(!vis[e[i].v])
{
q.push(e[i].v);
vis[e[i].v]=1;
}
}
}
}
}
int main()
{
while(~scanf("%d%d",&m,&n))
{
tot=0;
memset(firs,-1,sizeof(firs));
for(int i=0; iint x,y,w;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
edge(x,y,w);
edge(y,x,w);
}
spfa(1);
printf("%d\n",dis[n]);
}
return 0;
}
外层进行n-1次循环，内层进行m次循环，内层每进行一次循环，至少找出来一条边能走通，而图有n个点，所以进行n-1就够了。
经过我数据的实验，它只能检查出来负权边，而不能避免负权边（就是每进行一次循环距离就会减少，我也不知道怎么描述QAQ）。
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define maxnum 3010
#define inf 0x3f3f3f
using namespace std;
int main()
{
int dis[10],n,m,u[10],v[10],w[10];
//读入顶点个数和边的条数
scanf("%d%d",&n,&m);
//读入边
for(int i=1; i<=m; i++)
scanf("%d%d%d",&u[i],&v[i],&w[i]);
//初始化dis数组
for(int i=1; i<=n; i++)
dis[i]=inf;
dis[1]=0;
//贝尔曼-福特算法(Bellman-Ford)的核心语句
for(int k=1; k<=n-1; k++)
for(int i=1; i<=m; i++)
if(dis[u[i]]+w[i]//输出结果
for(int i=1;i<=n;i++)
printf("%d ",dis[i]);
} 这个算法还可以用来检测一个图是否含有负权回路，如果进行了n-1轮松弛操作后仍然存在：
if(dis[u[i]]+w[i]如果这种情况持续存在，那么这个图一定含有负权回路。
有时候在n-1轮松弛之前就已经算出了最短路，这时候我们可以判断一下来进行优化：
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define maxnum 3010
#define inf 0x3f3f3f
using namespace std;//开四个数组
int dis[10],n,m,u[10],v[10],w[10],check,flag;
int main()
{
//读入顶点个数和边的条数
scanf("%d%d",&n,&m);
//第一步，读入边
for(int i=1; i<=m; i++)
scanf("%d%d%d",&u[i],&v[i],&w[i]);
//第二步，初始化dis数组
for(int i=1; i<=n; i++)
dis[i]=inf;
dis[1]=0;
//第三步，贝尔曼-福特算法(Bellman-Ford)的核心语句
for(int k=1; k<=n-1; k++)
{
for(int i=1; i<=m; i++)
if(dis[u[i]]+w[i]1;//数组dis发生更新，改变check的值
}
//松弛完毕后检测dis是否有更新
if(check==0)break;//如果没有更新，提前退出循环
}
//检测负权回路并输出结果
flag=0;
for(int i=1; i<=m; i++)
if(dis[u[i]]+w[i]1;
if(flag==1)
printf("此图含有负权回路\n");
else
{
for(int i=1; i<=n; i++)
printf("%d ",dis[i]);
}
} 2.贝尔曼福特算法的队列优化，时间复杂度为O（N）：
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define maxnum 3010
#define inf 0x3f3f3f
using namespace std; //开7个数组
int dis[maxnum],n,m,u[maxnum],v[maxnum],w[maxnum];
int first[maxnum],next[maxnum],vis[maxnum];
int main()
{
queue<int>q;
//读入顶点个数和边的条数
scanf("%d%d",&n,&m);
//首先三个初始化
//第一步，初始化dis数组
for(int i=1; i<=n; i++)
dis[i]=inf;
dis[1]=0;
//第二步，初始化vis
for(int i=1; i<=n; i++)
vis[i]=0;
//第三步，初始化first的下标为-1，表示1~n号顶点暂时都没有边
for(int i=1; i<=n; i++)
first[i]=-1;
//第四步，读入边并建立邻接表
for(int i=1; i<=m; i++)
{
scanf("%d%d%d",&u[i],&v[i],&w[i]);
next[i]=first[u[i]];
first[u[i]]=i;
}
//第五步，起始顶点入队
vis[1]=1;
q.push(1);
while(!q.empty())
{
//第六步，下一个点开始
int k=first[q.front()];
while(k!=-1)//扫描当前顶点所有的边
{
if(dis[u[k]]+w[k]//第7步，判断是否松弛成功
{
dis[v[k]]=dis[u[k]]+w[k];//更新顶点1到顶点v[k]的路程
if(vis[v[k]]==0)//第8步，判断一个顶点是否在队列中，为0表示不在队列，加入队列
{
q.push(v[k]);
vis[v[k]]=1;//同时标记顶点v[k]已经入队
}
}
k=next[k];
}
vis[q.front()]=0;
q.pop();
}
//输出结果
for(int i=1; i<=n; i++)
printf("%d ",dis[i]);
return 0;
} 对于上面的代码，给出两组样例：
输入：
5 5
2 3 2
1 2 -3
1 5 5
4 5 2
3 4 3
输出：
0 -3 -1 2 4
输入：
5 7
1 2 2
1 5 10
2 3 3
2 5 7
3 4 4
4 5 5
5 3 6
输出：
0 2 5 9 9