线性基

数学基础

向量空间 vector space

定义 $(F,V,+,\cdot )$ 为向量空间，其中 $F$ 为域， $V$ 为集合， $V$ 中元素称为向量， $+$ 为向量加法， $\cdot$ 为标量乘法，且运算满足 8 条公理（见维基百科）。

线性无关 linearly independent

对于向量空间中 $V$ 上 $n$ 个元素的向量组 $({\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$, 若存在不全为 $0$ 的数 $a_i\in F$, 满足 $$a_1{\mathbf{v}}_1+a_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +a_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}=0$$
则称这 $n$ 个向量 线性相关，否则称为 线性无关 。

线性组合 linear combination

对于向量空间中 $V$ 上 $n$ 个元素的向量组 $({\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_n)$, 其线性组合是如下形式的向量
$$a_1{\mathbf{v}}_1+a_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +a_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$$
其中 $a_1,a_2,\dots ,a_n\in F$

一组向量 线性无关 等价于 没有向量可用有限个其他向量的 线性组合 所表示.

张成 span

对于向量空间中 $V$ 上 $n$ 个元素的向量组 $({\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_n)$ ，其所有线性组合所构成的集合称为 $({\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$ 的张成，记为 $\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}({\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$.

基 basis

若向量空间 $V$ 中向量组 $\mathfrak{B}$ 既是线性无关的又可以张成 $V$，则称其为 $V$ 的基。

$\mathfrak{B}$ 中的元素称为基向量。如果基中元素个数有限，就称向量空间为有限维向量空间，将元素的个数称作向量空间的维数。

性质

设 $\mathfrak{B}$ 是向量空间 $V$ 的基。则 $\mathfrak{B}$ 具有以下性质：

• $V$ 是 $\mathfrak{B}$ 的极小生成集，就是说只有 $\mathfrak{B}$ 能张成 $V$，而它的任何真子集都不张成全部的向量空间。
• $\mathfrak{B}$ 是 $V$ 中线性无关向量的极大集合，就是说 $\mathfrak{B}$ 在 $V$ 中是线性无关集合，而且 $V$ 中没有其他线性无关集合包含它作为真子集。
• $V$ 中所有的向量都可以按唯一的方式表达为 $\mathfrak{B}$ 中向量的线性组合。

第三点尤其重要，感性的理解，基就是向量空间中的一个子集，它可以通过唯一的线性组合，来张成向量空间中所有的向量，这样就可以大大的缩小我们向量空间的大小。

线性相关性引理 Linear Dependent Lemma

如果 $({\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_n)$ 在 $V$ 中是线性相关的，并且 ${\mathbf{v}}_1\ne 0$, 则有至少一个 $j\in \{2,\dots ,m\}$ 使得下列成立：

1. $v_j\in \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}({\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{j}-1})$
2. 如果从 $({\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$ 中去掉第 $j$ 项，则剩余向量组的张成仍然等于 $\mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}({\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$

证明

设 $({\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$ 在 $V$ 中是线性相关的，并且 ${\mathbf{v}}_1\ne 0$, 则有不全为 $0$ 的 $a_1,a_2,\dots ,a_n\in F$，使得
$$a_1{\mathbf{v}}_1+a_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +a_m{\mathbf{v}}_{\mathbf{m}}=0$$

$a_2,a_3,\dots ,a_n$ 不会全为 $0$ (因为 ${\mathbf{v}}_1\ne 0$ )。设 $j$ 是 $\{2,\dots ,m\}$ 中使得 $a_j\ne 0$ 的最大者，那么
$${\mathbf{v}}_{\mathbf{j}}=-\frac{a_1}{a_j}{\mathbf{v}}_1-\frac{a_2}{a_j}{\mathbf{v}}_2-\cdots -\frac{a_{j-1}}{a_j}{\mathbf{v}}_{j-1}$$
这就有 1 成立.

为了证明 2，设 $\mathbf{u}\in \mathrm{s}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{n}({\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$, 则存在 $c_1,c_2,\dots ,c_n\in F$, 使得
$$\mathbf{u}=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$$
在上面的等式中，可以用之前的等式右边来代替 ${\mathbf{v}}_{\mathbf{j}}$. 这样 $\mathbf{u}$ 包含于从 $({\mathbf{v}}_0,{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}})$ 去掉第 $j$ 项的张成，因而 2 成立。

性质

设集合 $S$ 中最大的数在二进制意义下有 $L$ 位，我们使用一个 $[0\dots L]$ 的数组 $a$ 来储存线性基。

这种线性基的构造方法保证了一个特殊性质，对于每一个 $i$，$a_i$ 有以下两种可能：

• $a_i=0$
  • 则只有满足 $j>i$ 的 $a_j$ 的第 $i$ 个二进制位可能为 $1$;
• $a_i\ne 0$

  • 整个 $a$ 数组中只有 $a_i$ 的第 $i$ 个二进制位为 $1$;

  • $a_i$ 更高的二进制位一定为 $0$;

  • $a_i$ 更低的二进制位可能为 $1$;

流程

线性基是由空一个个加入的，记线性基为 $a$, 新加入的为 $t$ 。

逆序枚举 $t$ 的所有二进制位，对于每一个 $i$ ：

• 如果 $a_i\ne 0$ ，则令 $t=t\oplus a_i$ 。

  为保证 $a$ 中只有 $a_i$ 的第 $i$ 位为 $1$ ，只有消去 $t$ 的第 $j$ 位上的 $1$ ，才可以继续插入。

• 如果 $a_i=0$ ，则

  • 枚举 $j\in [0,i)$ ，如果 $t$ 的第 $j$ 位为 $1$ ，则令 $t=t\oplus a_k$ 。

    为保证 $a$ 中只有 $a_i$ 的第 $i$ 位为 $1$ ，只有消去 $t$ 的第 $j$ 位上的 $1$ ，才可以继续插入。

  • 枚举 $j\in (i,L]$ ，如果 $a_j$ 的第 $i$ 位为 $1$ ，则令 $a_j=a_j\oplus t$ 。

    为保证 $a_k,k\in (j,L]$ 中第 j 位为 $0$.

  • 令 $a_i=t$ ，至此，过程结束。

很明显，这一算法构造线性基的复杂度为 $O(n{\log }_2\max a_i)$

实现模板

最大异或和

给定由 $n$ 个数组成的一个可重集 $S$ , 求一个集合 $T\subseteq S$ , 使 $T_1\oplus T_2\oplus \cdots \oplus T_{|T|}$ 最小。

$1\le n\le 50,0\le S_i\le 2^{50}$

先构造一个线性基，最大异或和即为线性基中的所有数的异或和。

最大异或和.cpp

K 小异或和

给定由 $n$ 个数组成的一个可重集 $S$ , 求一个集合 $T\subseteq S$ , 使 $T_1\oplus T_2\oplus \cdots \oplus T_{|T|}$ 在 $S$ 的所有非空子集的不同的异或和中第 $k$ 小。

$1\le n\le 50,0\le S_i\le 2^{50}$

K 小异或和.cpp

应用