2D-2D位姿解算方法：本质矩阵或者基础矩阵（essential matrix or fundamental matrix）与单应矩阵（honmography）对比

一、本质矩阵或者基础矩阵算法来自于对极约束：

$$x_{2}^{T}t^{\wedge}Rx_{1}=0$$

也可以写成

$$p_{2}^{T}K^{-T}t^{\wedge}RK^{-1}p_{1}=0$$

其中间部分记为本质矩阵E和基础矩阵F：

$$E=t^{\wedge}R$$或者：$$F=K^{-T}t^{\wedge}RK^{-1}$$

本质矩阵E具有平移和旋转六个自由度，但是由于对极约束是等式为0的约束，所以具有尺度等价性。故具有5个自由度，理论上可以通过5组匹配点进行计算，但是过于复杂，实际上往往通过8点法进行求解。SVD分解往往会得到四个解，通过深度检验可以确定正确的解。

注意：对于约束由于t的存在，如果发生纯旋转，会导致无解。但是单应矩阵（homography）可以解决这个问题。纯旋转也会导致初始化问题。

二、单应矩阵来自于平面约束：

$$n^{T}P+d = 0$$

可得：

$$ -\frac{n^{T}P}{d}=1$$

又因为$$p_{2}=K(RP+t )=K(RP+t\cdot(-\frac{n^{T}P}{d}))=K(R-\frac{tn^{T}}{d})K^{-1}p_{1}$$

中间部分记为单应矩阵（homography）H：$$H=K(R-\frac{tn^{T}}{d})K^{-1}$$

H矩阵也是一个3X3的矩阵，但是每一组特征点都可以提供2个约束，所以只需要4对点就可以求解H。

对H进行分解有数值法和解析法，都可以得到4个解，通过深度验证和假设场景法向量可以排除解。

总结：

一般2D-2D都是同时估计基础矩阵和本质矩阵，选择重投影误差比较小的那个作为最终的估计。