数学建模（4）：动态规划
动态规划本身并不是类似前三篇文章所说明的一样，是一种规定的算法，而更像是考察问题的一种途径。自问世以来，它在经济管理、生产调度、工程技术和优控制等方面得到了广泛的应用。例如短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。
§1 动态规划模型的要素
动态规划模型的要素是对问题解决的抽象，其可分为：
- 阶段。指对问题进行解决的自然划分。例如：在最短线路问题中，每进行走一步的决策就是一个阶段。
- 状态。指一个阶段开始时的自然状况。例如：在最短线路问题中，每进行走一步后，对所走的点进行标注。
- 决策。当一个阶段的状态确定后，作出选择从而演变到下一阶段的某个状态的选择手段称为决策，在优控制问题中也称为控制。
- 策略。由决策组成的序列称为策略。由第k到第j阶段的策略可记作
- 状态转移。
- 指标函数。用以衡量过程的优劣。
- 最优策略。对于使指标函数Vk，n达到最优值的策略，我们称之为子过程的最优策略。同样的，我们还有全程的最优策略。
- 递归方程。每一次最优化的求解都是相同原理的机械过程，我们利用计算机辅助计算时可以视其为递归过程。其中：
为递归方程。
纵上所述，如果一个问题能用动态规划方法求解，那么，我们可以按下列步骤，建立起动态规划的数学模型：
1.将过程划分成恰当的阶段
2.正确选择状态变量，使它既能描述过程的状态，又满足无后效性，同时确定允许状态集合
3.选择决策变量 k u
4.写出状态转移方程。
5.确定阶段指标及指标函数的形式（阶段指标之和，阶段指标之积，阶段指标之极大或极小等）
6.写出基本方程即优值函数满足的递归方程，以及端点条件
例如最短线路问题可以使用lingo建模并给出解答
model: Title Dynamic Programming;
sets: vertex/A,B1,B2,C1,C2,C3,C4,D1,D2,D3,E1,E2,E3,F1,F2,G/:L;
road(vertex,vertex)/A B1,A B2,B1 C1,B1 C2,B1 c3,B2 C2,B2 C3,B2 C4,
C1 D1,C1 D2,C2 D1,C2 D2,C3 D2,C3 D3,
C4 D2,C4 D3, D1 E1,D1 E2,D2 E2,D2 E3,
D3 E2,D3 E3, E1 F1,E1 F2,E2 F1,E2 F2,
E3 F1,E3 F2,F1 G,F2 G/:D;
endsets
data:
D=5 3 1 3 6 8 7 6
6 8 3 5 3 3 8 4
2 2 1 2 3 3
3 5 5 2 6 6 4 3;
L=0,,,,,,,,,,,,,,,;
enddata
@for(vertex(i)|i#GT#1:L(i)=@min(road(j,i):L(j)+D(j,i)));
end
§2 动态规划与静态规划之间的关系
动态规划可以看作求决策使指标函数达到最优 （大或小）的极值问题，状态转移方程、端点条件以及允许状态集、允许决策集等是约束条件，原则上可以用非线性规划方法求解。 一些静态规划只要适当引入阶段变量、状态、决策等就可以用动态规划方法求解。 下面用例子说明。
§3 若干类型的动态规划解法举例
1. 最短路线问题
状态转移方程为：
阶段指标为两点距离，指标函数为走过的总距离，最优值函数为由起点到终点的最短距离，且为：
2. 生产计划问题
状态转移方程为：
阶段指标为阶段的生产成本和储存费之和
指标函数为阶段指标之和，最优值函数为由起点至完成既定目标的最小费用，且为：
3. 资源分配问题
