莫队算法学习笔记

莫队算法

有时候我们经常会碰到这样一类问题：给定n和n个数etc，然后给出m组区间询问[L,R],要求对所有询问区间给出答案。

然后发现这类题通常有一个很好的性质就是，如果你知道了[L,R]的答案，就可以O(1)或者O(lgn)（再大就有点玄了）的知道

[L+1,R],[L-1,R],[L,R+1],[L,R-1]的答案，也就是可以很快的拓展左右节点，那么于是发现，与其在线回答每一个问题，不如找到一种离线回答顺序，

使得根据第i个区间[Li,Ri]的答案拓展到第i+1个区间[L_(i+1),R_(i+1)]的答案的用时之和最少。

好吧，上面这句话有点难懂。我们再详细点说。

不妨假设你可以做到O(1)的扩展左右端点，即由[L,R]的答案可以O(1)的知道[L+1,R],[L-1,R],[L,R+1],[L,R-1]的答案。

那么，如果你知道了[Li,Ri]的答案，你就可以在O( | Li - L_(i+1) | + | Ri - R_(i+1) | )的复杂度上知道[L_(i+1),R_(i+1)]的答案。

如果把[L,R]看作平面上的点(L,R)，那么从一个点（也就是答案）扩展到另一个点（下一个答案）就是两点的曼哈顿距离。

我们可以证明存在一种走法，走过所有点，且移动距离之和是O(n*sqrt(n))的。

但是这个大概常数巨大而且不好写，所以我们有一种替代品，也可以说是改良版，就是分块。

具体做法是这样的：

我们把所有询问都进来，然后把那个长为n的序列分块，分为sqrt(n)块。

按照左端点所在块的编号（记为pos( query[i].left )）升序排序，如果左端点在同一个块内，就按照右端点升序排序。

有读者可能会问，为什么不直接按照左端点升序-右端点升序排序呢？

事实上，读者可以构造一个例子，在最坏情况下，按照这种暴力排序的方法复杂度是O(n^2)级别的。

那么问题来了：为什么莫队算法的排序保证时间复杂度是O(n*sqrt(n))的呢？

简单证明如下：

当我们第i个询问转移的第i+1个询问时

1）如果第i个询问区间和第i+1个询问区间的左端点所在块的编号相同，那么左端点的移动不会超过sqrt(n)。

      也就是说，左端点一直在块内移动的总复杂度为O(n*sqrt(n))(因为左端点最多转移n次，减去左端点跨越块的部分，不足n)

      同时由于右端点升序，那么若s,s+1,,,t-1,t的询问区间左端点所在块的编号相等，那么右端点的移动不会超过n次。有一位有sqrt(n)个块，

      所以这一部分的复杂度是O(n*sqrt(n))的。

2）考虑左端点跨越块的情况，每次跨越最大是O(2*sqrt(n))那么左端点跨越块的复杂度O(n*sqrt(n))的。

       又在这个期间，每次左端点跨越的时候，右端点可能要移动O(n)次，一共左端点跨越sqrt(n)个块，所以右端点复杂度是O(n*sqrt(n))的。

综上莫队算法的排序保证时间复杂度是O(n*sqrt(n))的。

可以进一步的说，莫队算法的总复杂度是O(m*sqrt(n)*F(n)+m*G(n))的，m是询问数。其中F(n)是拓展一次端点的复杂度，通常为O(1)或者O(lgn)。G(n)是根据现有信息计算一个区间答案的复杂度，通常为O(1)或者O(lgn)。由此可以看出，当我们有多种可以维护莫队算法的数据结构的时候，要尽量使修改操作复杂度低。一个例子是BZOJ3809的一道题，如果用树状数组，修改和查询都是O(lgn)的，那么套一个莫队复杂度就是O(m*sqrt(n)*lgn)的。但是我们可以用分块代替，这样虽然询问是O(sqrt(n))的，但是修改却变成O(1)的了，总复杂度就是O(m*sqrt(n))。

莫队算法模板：

#include
#include
#include
#define MAXN //最大序列长度 
#define MAXM //最大操作次数 
#define pos(i) (i/sz)
using namespace std;
int ans[MAXM],Ans,sz;
//以及其他辅助数组和数据结构 
struct query{//离线询问 
	int l,r,id;
}q[MAXM];
bool cmp(const query &q1,const query &q2)//排序比较的函数 
{
	if(pos(q1.l)==pos(q2.l)) return q1.rq[i].l) add(--L);//加入左端点 
		while(Rq[i].r) del(R--);//删除右端点 
		ans[q[i].id]=getAns();//此时L=q[i].l,R=q[i].r,用计算出的答案更新ans[q[i].id]。 
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
		printf("%d\n",ans[i]);//输出答案 
	return 0;
}

大概就是这样。