《算法导论》第9章：顺序统计、中值

本章主要解决的问题：求数列中第i小的元素

一、排序+下标定位【最坏情况Θ(n*lgn)】

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 二、随机化分治算法【平均情况Θ(n)】

算法步骤

1.随机选择主元

2.线性时间内以主元划分为两部分，左半部分小于主元，右半部分大于主元。设主元的下标为k。

3.根据情况选择：

if k == i：直接返回A[k]
if k > i：递归最半部分找第i小的数
if k < i：递归右半部分找第i-k小的数

初步分析（假设所有元素都不相同）

精确分析（平均情况）

其中Xk是指示器随机变量{0,1}：

再使用代换法：

代码实现（C++）

#include 
#include 
using namespace std;

int randomized_partition(int* a, int low, int high)
{
    int i = low - 1;
    int j = rand() % (high - low + 1) + low;
    swap(a[high], a[j]);           //a[high] is the pivot

    for(int j = low; j < high; ++j)
        if(a[j] <= a[high])
            swap(a[++i], a[j]);
    swap(a[++i], a[high]);

    return i;
}

int randomized_select(int* a, int p, int r, int i)
{
    if(p == r) return a[p];
    int q = randomized_partition(a, p, r);
    int k = q - p + 1;              //a[q] is the k-th smaller element in array a
    if(i == k) return a[q];
    else if(i < k) return randomized_select(a, p, q - 1, i);
    else return randomized_select(a, q + 1, r, i - k);
}

int main()
{
    int a[9] = {3, 5, 7, 9, 8, 6, 1, 2, 4};
    cout << randomized_select(a, 0, 9, 5);
    return 0;
}

 

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三、选择算法SELECT【最坏情况Θ(n)】

算法步骤

（1）将输入数组的n个元素划分为floor(n/5)组，每组5个元素，且至多只有一组由剩下的n%5个元素组成；
（2）寻找这ceil(n/5)组中每一组的中位数，首先对每组元素进行插入排序，然后确定每组有序元素的中位数；
（3）对第2步中找出的ceil(n/5)个中位数，递归调用SELECT以找出其中位数x（如果有偶数个中位数，约定x是较小的中位数）；
（4）利用PARTIONX，按中位数的中位数x对输入数组进行划分。让k比划分的低区中的元素多1，因此x是第k小的元素，并且有n-k个元素在高区。
（5）如果i=k，则返回x。如果ik，则在高区递归调用SELECT找出第i-k小的元素。

算法分析

①寻找ceil(n/5)个中位数：Θ(n)

②递归计算ceil(n/5)个中位数的中位数m：T(n/5)

③至少右3n/10个数小于m，因此划分后的子问题规模：T(7n/10)

因此：T(n) = T(7n/10) + T(n/5) + Θ(n)

用代入法可证明：T(n) = Θ(n)

 

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Exercises 9.3-8

Let X[1 .. n] and Y [1 .. n] be two arrays, each containing n numbers already in sorted order. Give an O(lg n)-time algorithm to find the median of all 2n elements in arrays X and Y. 

解: int findMedian( X[1..n], Y[1..n])  // X 和 Y均为n个以排序的数组

1.  在 X，Y中取中位数，分别为m、n    --------    O(1)

2. if m==n：return m

3. else if m

4. else if m>n：类似上面

5. else return findMedian(X[floor(n/2)+1..n],Y[1..floor(n/2)])

     T(n) = T(n/2)+O(1)

     由master定理,可知复杂度为O(lgn)