奖励关（NKOI 数学期望）

P2084【SCOI2008 Day1】奖励关

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问题描述

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出k次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。

宝物一共有n种，系统每次抛出这n种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前k-1 次系统都抛出宝物1（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第k次抛出各个宝物的概率依然均为1/n。

获取第 i 种宝物将得到Pi分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第i种宝物有一个前提宝物集合Si。只有当Si中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第i 种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，Pi 可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。

假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

输入格式

第一行为两个正整数k 和n，即宝物的数量和种类。以下n行分别描述一种宝物，其中第一个整数代表分值，随后的整数依次代表该宝物的各个前提宝物（各宝物编号为1到n），以0结尾。

输出格式

输出一个实数，保留六位小数，即在最优策略下平均情况的得分。

样例输入

样例输入1：
1 2
1 0
2 0
样例输入2：
6 6
12 2 3 4 5 0
15 5 0
-2 2 4 5 0
-11 2 5 0
5 0
1 2 4 5 0

样例输出

样例输出1：
1.500000
样例输出2：
10.023470

提示

【数据规模】
1 <= k <= 100, 1 <= n <= 15，分值为[-10^6,10^6]内的整数。

 

#include
#include
using namespace std;
int k,n,BIT[20],s[20],maxx;
double f[105][17000],p[20];
int main()
{
    int i,t,j;
    scanf("%d%d",&k,&n);
    for(i=1;i<=n;i++)
    BIT[i]=1<<(i-1);
    
    maxx=1<<(n-1);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lf",&p[i]);
        scanf("%d",&t);
        while(t!=0)
        {
            s[i]|=(1<<(t-1));
            scanf("%d",&t);
        }
    }
    for(i=k-1;i>=0;i--)
    for(j=maxx;j>=0;j--)
    for(t=1;t<=n;t++)
    if((j&s[t])==s[t])f[i][j]+=max((f[i+1][j|BIT[t]]+p[t]),f[i+1][j])/double(n);
    else f[i][j]+=f[i+1][j]/double(n);
    printf("%.6lf\n",f[0][0]);
    return 0;    
} 

（代码有缺陷）

    这又是一个典型的数学期望问题，但是有趣的是n的取值范围，只有15，再考虑到再次出现了这种经典的条件性选择的限制（即类似于拓扑序列，在x出现之前必须先出现x1，x2，x3....），我们很容易想到记录每种奖励的出现情况（状态），再结合n<=15，这个奇妙的数据范围，很容易想到用状态压缩（二进制）来处理。

    于是只需要定义f[i][j]为第i天，奖励领取情况为j（把j看成二进制 ）记录 奖励领取情况时到终点时期望获得的最大得分，然后，f[i][j]的值受到n个f[i+1][j']的影响（其中j'代表了这一天选取宝物之后，宝物领取情况改变后的状态）

    即f[i][j]=求和max(（f[i+1][j']+p[k]）,f[i+1][j])/n;(吃得起的情况下，吃与不吃)

    若吃不起，则f[i][j]+=f[i+1][j]/n(只好不吃）。

     这个地方需要注意的是，我们用到了一个小技巧，即是s[]数组的使用，把s[]数组存的数看做二进制，s[i]表示要吃到第i个宝物，必须先吃到那些宝物，需要吃到的宝物相应的二进制位置上记录为1。这个时候，只需要j&s[i]，如果等于s[i]，说明s[i]被完整地“包含”在了j中，说明符合吃的条件。