HDU 6397 Character Encoding

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题意： 假设有 0 到 n-1种数字，随机选取（可以重复），得到的和为k组合数量有多少种。

分析：可以用容斥或者生成函数来做。

容斥做法：

如果每个箱子里可以装的小球数量没有上限的话,答案就是（隔板法），设为有至少有i个箱子不合法的情况（最多会有k/n个箱子不合法），答案就是

    ，

容斥原理可参考点击打开链接，讲的很好。

生成函数做法：

我们先不看k，只看n和m

当n=2时

0  1   2   3   4   5   6   7   8  9 10 11... 0   1 1   1  1 2   1  2   1 3   1  3   3   1 4   1  4   6   4   1 5   1  5  10  10   5   1 6   1  6  15  20  15   6   1 7   1  7  21  35  35  21   7   1 8   1  8  28  56  70  56  28   8   1 9   1  9  36  84 126 126  84  36   9  1 10  1 10  45 120 210 252 210 120  45 10  1 11  1 11  55 165 330 462 462 330 165 55 11  1

很显然就是杨辉三角，直接二项式定理就可以了

当n=3是，也是类似的

     0   1   2   3   4    5    6      7      8     9   10  11  12

0:  1

1:  1   1   1

2:  1   2   3    2    1

3:  1   3   6    7    6   3    1

4:  1   4  10  16  19  16  10   4      1

5:  1   5  15  30  45  51  45   30   15    5   1

6:  1   6  21  50  90 126 141 126  90  50 21  6  1

 

生成公式：

这个公式就是就可以表示第m行的结果，对应的系数就是展开式中x^i的系数，所以我们只需要求生成公式中x^k的系数即可。

那么我们就得对公式化简

根据泰勒展开：

可得

（广义二项式）

所以

到了这一步，我们就可以直接计算了，我们需要求x^k次项的系数，x^k项的系数为

可以发现容斥和生成函数推出来的公式是相同的。

代码：

#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#include
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参考博客：https://blog.csdn.net/njupt_lyy/article/details/81714203