错排问题(个人总结/复习用)

错排问题

 

错排问题是组合数学发展史上的一个重要问题,错排数也是一项重要的数。令   

的一个错排,如果每个元素都不在其对应下标的位置上,即 ,那么这种排列称为错位排列,或错排、重排(Derangement)。

我们从分析1 2 3 4的错排开始:

1 2 3 4的错排有:

4 3 2 1,4 1 2 3,4 3 1 2,

3 4 1 2,3 4 2 1,2 4 1 3,

2 1 4 3,3 1 4 2,2 3 4 1。

第一列是4分别与123互换位置,其余两个元素错排。

1 2 3 4->4 3 2 1,

1 2 3 4->3 4 1 2,

1 2 3 4-> 2 1 4 3

第2列是4分别与312(123的一个错排)的每一个数互换

3 1 2 4->4 1 2 3,

3 1 2 4->3 4 2 1,

3 1 2 4->3 1 4 2

第三列则是由另一个错排231和4换位而得到

2 3 1 4->4 3 1 2,

2 3 1 4->2 4 1 3,

2 3 1 4->2 3 4 1

上面的分析结果,实际上是给出一种产生错排的结果。

 

递归关系

为求其递推关系,分两步走:

第一步,考虑第n个元素,把它放在某一个位置,比如位置k,一共有n-1种放法;

第二步,考虑第k个元素,这时有两种情况:(1)把它放到位置n,那么对于除n以外的n-1个元素,由于第k个元素放到了位置n,所以剩下n-2个元素的错排即可,有  种放法;(2)第k个元素不放到位置n,这时对于这n-1个元素的错排,有 

种放法。

根据乘法和加法法则,综上得到

特殊地, 。

此外,存在

因此,

  。

引用于:https://baike.baidu.com/item/%E9%94%99%E6%8E%92%E9%97%AE%E9%A2%98/3849290?fr=aladdin

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