离散数学-图论相关

图的基本概念

无向图和有向图

无向图

一个无向图G是一个二元组$$,V中的元素称为顶点或者节点。

1. V是一个非空的有穷集合，称为G的顶点集
2. E是一个无序积V&V的多重子集，称为G的编辑，E中的元素称为无向边

有向图

一个有向图G是一个二元组$$,V中的元素称为顶点或者节点。

1. V是一个非空的有穷集合，称为G的顶点集
2. E是一个卡式积V&V的多重子集，称为G的边集，E中的元素称为有向边

关联和度

关联

1.在无向图G（V,E）中，设e=(u,v)是图的一条边，则称u,v是e的端点
2. e与u(v)关联，无关联的定点称为孤立点；
3. 若一条边关联的两个定点重合，成此边为环
4. 若$u\ne v$,称e与u(v)的关联次数为1；若$u= v$,称e与u(v)的关联次数为2

度

对于无向图，顶点v作为边的端点的次数之和为v的度数，称为度，记为$d(v)$

对于有向图而言，称顶点v作为边的始点的次数之和为v的出度，记为$d^{+}(v)$；称顶点v作为边的终点的次数之和为v的入度,记为$d^{-}(v)$；顶点v作为边的端点的次数之和为v的度数，称为度，$d(v)=d^{+}(v)+d^{-}(v)$

握手定理

定理1：设图G=为有向图或者无向图，$V=\{v_1,v_2,v_3...v_n\}$,边数|E|=m,则

\sum^{n}_{i-1}{d(v_i)}=2m

推论：任何图中，度数为奇数的顶点个数为偶数

定理2：设图G=为有向图，$V=\{v_1,v_2,v_3...v_n\}$,边数|E|=m,则

\sum^{n}_{i-1}{d^{+}(v_i)}=\sum^{n}_{i-1}{d^{-}(v_i)}=m

简单图与完全图

简单图

1. 在无向图中，关联1对顶点的无向边如果多于1条，称这些边为平行边，平行边的条数称为重数
2. 在有向图中，如果多于1条的边的起点和终点相同，称这些边为平行边，平行边的条数称为重数
3. 含平行边的图称为多重图，既不含平行边又不含环的图称为简单图

定义：设G=是n阶无向简单图，若G中任何顶点都与其余的n-1个顶点，称G为n阶无向完全图，记做$K_n$

通路、回路和图的连通性

通路

定义：设图G中顶点和边的交替序列$\tau=v_0e_1v_1e_2...e_lv_l$,若$v_{i-1}$和$v_{i}$是$e_{i}$的端点，则称$\tau$为顶点$v_{0}$到$v_{l}$的通路

$v_{0}$和$v_{l}$分别称为此通路的起点和终点，$\tau$中边的数目l称为$\tau$的长度

回路

当$v_{0}$=$v_{l}$时，称此简单通路为简单回路

若$\tau$中除了$v_{0}$和$v_{l}$外所有顶点互不相同，则称此通路为初级通路或路径，当$v_{0}$=$v_{l}$时,称此初级通路为初级回路或圈

当有边重复出现时，称为复杂通路；有边重复出现的回路称之为复杂回路

一些关于通路和回路的定理

定理1

在一个n阶图中，若从顶点u到v存在通路，则从u到v存在长度小于等于n-1的通路

推论

在一个n阶图中，如果存在v到自身的通路，则存在v到自身长度小于等于n-1的初级通路

定理2

在一个n阶图中，若从顶点u到v存在回路，则从u到v存在长度小于等于n的回路

推论

在一个n阶图中，如果存在v到自身的回路，则存在v到自身长度小于等于n的初级回路

连通性

在一个无向图G中，若从顶点u到v存在通路，则称u和v是连通的。规定任何顶点到自身总是连通的

若无向图G是平凡图或G中任意两顶点是连通的，则成G是连通图，否则称G为非连通图

设D是一个有向图，如果略去D中个有向边的方向后得到的无向图是连通图，则称D是弱连通图，简称为连通图。若D中任意两顶点至少一个可达另一个，则称D是单向连通图；若D中任意一对顶点都是相互可达的，称D为强连通图

割集

设无向图$G=,V^{'}\subset V $,从G中删除$V^{'}$中的所有顶点机器关联的边，称作删除$V^{'}$，把删除$V^{'}$之后的图记做G-$V^{'}$；又设$E^{'}\subset E$，从G中删除$E^{'}$中的所有边，称作删除$E^{'}$,把删除$E^{'}$之后的图记做G-$E^{'}$

设无向图$G=,V^{'}\subset V $,若$p((G-V^{'}>p(G))$,且对$V^{'}$的任何真子集$V^{''},p(G-V^{"})=p(G)$,称$V^{'}$为G的点割集，如果点割集中只有一个顶点v,称v为割点。

又$E^{'}\subset E$,若$p((G-E^{'}>p(G))$，且对$E^{'}$的任何真子集$E^{''},p(G-E^{"})=p(G)$,称$E^{'}$为G的点割集，如果点割集中只有一条边e,称e为割边或者桥。

二部图

定义

若能将无向图G=的顶点集V划分为两个不相交的非空子集$V_1$和$V_2$,是的G中任何一条边的两个端点一个属于$V_1$，另一个属于$V_2$，则称G为二部图，$V_1$和$V_2$称为互补顶点子集

若$V_1$中每一个顶点与$V_2$中的每一个顶点均有且只有一条边相关联，则称二部图G为完全二部图

二部图判定

一个无向图G=是二部图，当且仅当G中没有长度为奇数的回路

设无向图G=，$M\subset E$,若M中任意两条边均不相邻，则称M为G中的匹配，若在M中在加入任何1条边就不是匹配了，则称M为极大匹配，变数最多的匹配称为最大匹配，最大匹配中边的条数称为G的匹配数，记为$\beta_1(G)$

设M为G的一个匹配，$v\in V(G)$,若M中的边与v关联，则称v为M饱和点，否则称v为M非饱和点。若G中每个顶点都是M饱和点，则称M为完美匹配

设$G=$为一个二部图，$|V_1|\leq |V_2|$,M为G的一个最大匹配，若$|V_1|= |M|$，则称M为G中$V_1$到$V_2$的完备匹配。

当$|V_1|= |V_2|$时，完备匹配时完美匹配。

Hall定理

设$G=$为一个二部图，$|V_1|\leq |V_2|$,G中存在$V_1$到$V_2$的完备匹配当且仅当$V_1$中任意k个顶点至少邻接$V_2$中的k个顶点

定理：设二部图$G=$，如果存在t>0使得：

• $V_1$中每个顶点至少关联t条边；
• $V_2$中每个顶点至多关联t条边；

则G中存在$V_1$到$V_2$的完备匹配

欧拉图

经过图（无向图或者有向图）中每条边一次且仅一次并且行遍图中每个顶点的回路（通路），称为欧拉回路（欧拉通路）。存在欧拉回路的图，称为欧拉图

欧拉图的判定

定理1：无向图G有欧拉回路，当且仅当G是连通图且无奇度顶点。无向图G有欧拉通路，但无欧拉回路，当且仅当G是连通图且恰好有两个奇度顶点，这两个奇度顶点是欧拉通路的端点。

定理2: 有向图D有欧拉回路，当且仅当D是连通的且每个顶点的入度等于出度。 有向图有欧拉通路，但无欧拉回路，当且仅当D是连通的，且除了两个顶点之外，其余顶点的入度均等于出度。 这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个定点的入度比出度小1，，任何欧拉通路都以前一个顶点为终点，另一个为起点。

欧拉图的求解

待加

哈密顿图

定义

经过图中每个顶点一次且仅有一次的回路（通路）称为哈密顿回路（通路）。存在哈密顿回路的图是哈密顿图

性质

定理1： 设无向图$G=$是哈密顿图,$V_1$是V的任意非空子集，则

p(G-V_1)\leq|V_1|

推论： 设无向图$G=$中有哈密顿通路，$V_1$是V的任意非空子集，则

p(G-V_1)\leq|V_1|+1

哈密顿图的判定

定理1：设G是n(n>=3)阶无向简单图，如果G中任何一对不相邻顶点的度数之和都大于等于n-1，则G中存在哈密顿通路。如果G中任何一对不相邻顶点的度数之和都大于等于n,则G是哈密顿图

定理2： 在n(n>=2)阶有向图D=中，如果所有有向边均用无向边代替，所得无向图中含生成子图$K_n$，则有向图D中存在哈密顿通路。

树

无向树

定义

不含回路的连通无向图称为无向树，每个连通分支都是树的非连通无向图称为森林

• 树中度数为1的顶点称为树叶
• 度数大于等于2的点称为分支点
• 平凡图称为平凡树

设$G=,|V|=n,|E|=m$，则下面各命题是等价的：

• G连通且不含回路
• G的每对顶点之间有唯一的一条路径
• G是连通的且m=n-1
• G中无回路且m=n-1
• G中无回路，但在任两个不相邻的顶点之间增加一条边，就形成了唯一的一条初级回路
• G是连通的且每条边都是桥

性质

• n阶非平凡树中至少有2片树叶
• 任何无向连通图都有生成树
• 设n阶无向连通图G有m条边，则m>=n-1
  PS 什么是生成树

设$G=$是无向连通图，T是G的生成子图并且是树，则称T是G的生成树

• G在T中的边称为树枝，不在T中的边称为弦。
• T中所有弦的集合的导出子图称为T的余树

基本回路和基本割集

基本回路

设T是连通图$G=$的一棵生成树，对每一条弦e，存在唯一的有弦e和T构成的初级回路$C_e$,则称$C_e$为对应弦e的基本回路。称所有基本回路的集合为对应生成树T的基本回路系统

基本割集

设T是连通图$G=$的一棵生成树，对每一条树枝a，存在唯一的由树枝a，其余的边都是弦的割集$S_a$,称$S_a$为对应树枝a的基本割集，称所有基本割集的集合为对应生成树T的基本割集系统

G的对应不同生成树的基本割集可能不一样，但是基本割集的个数都是n-1

最小生成树

设T是无向连通带权图$G=$的一棵生成树，T中所有边的权之和称为T的权，G中所有生成树中权最小的生成树称为最小生成树

最小生成树问题是求任给的无向连通带权图的最小生成树

最小生成树的解法——避圈法

算法的思想是每次取权尽可能小的边，只要他与已取的边不够成回路，直到取到一棵生成树为止，这就是避圈法

输入：n阶无向连通带权图设T是$G=$，其中$E=\{e_1,e_2...,e_m\}$
输出：最小生成树T

1. 按权从小到大排列边，不妨设$W(e_1)\leq W(e_2)\leq W(e_3)...\leq W(e_m)$
2. 令$T\gets \emptyset,i\gets 1,k\gets 0$
3. 若$e_i$与T的边不构成回路，则令$T\gets T\bigcup \{e_i\},k\gets k+1$，若条件成立则取$e_i$，否则弃掉$e_i$
4. 若$k，则令$i\gets i+1$,转3

生成树的计数

图的矩阵表示

无向图的关联矩阵

定义

设无向图G=,$E=\{e_1,e_2...,e_m\}$,$V=\{v_1,v_2...,v_n\}$,令$m_{ij}$为顶点$v_{i}$和$e_{j}$的关联次数，称$(m_{ij})_{n*m}$为G的关联矩阵，记为M(G)

性质

无向图基本关联矩阵

无向图基本关联矩阵的秩的性质

无向图关联矩阵与生成树

有向图关联矩阵

定义

性质

有向图邻接矩阵

定义

性质

邻接矩阵求通路数

有向图的可达矩阵

定义

性质

举例

无向图相邻矩阵

定义

性质

相邻矩阵与连通数

连通矩阵

定义

性质

举例

平面图

定义

• 如果图G能画在平面上使得除顶点处外没有边交叉出现，则称G为平面图，画出的这种不出现边交叉的图称为G的一个平面嵌入

• 设G是一个平面嵌入，G的边将整个平面划分为若干个区域，每个区域称为面

• 其中面积无限的区域叫做无限面或者外部面；面积有限的区域称为有限面或者内部面

• 包围面R的所有边构成的回路称为该面的边界

• 边界的长度称为面R的次数，记为deg®

• 设G为一个简单平面图，如果在G中任意不相邻的两个顶点之间再加一条边，所得图为非平面图，则称G为极大平面图；若在非平面图G中任意删除一条边，所得图为平面图，则称G为极小非平面图

性质

• 平面图上所有面的次数之和等于边数的两倍
• n(n>=3)阶简单平面图是极大平面图当且仅当它是连通的且每个面的次数都为3
• 设G是连通的平面图，且每个面的次数至少为l(l>=3),则$m\leq \frac{l}{l-2}(n-2)$
• $K_5$和$K_{3,3}$都不是平面图

欧拉公式

设G为任意的连通平面图，则有：

n-m+r=2

其中n为G中的顶点树，m为边数，r为面数

推论： 对于任意的p(p>=2)个连通分支的平面图，有

n-m+r=2p+1

同胚与同构

在下图中，从右到左的变换称为消去二度顶点，从左到右的变换称为插入二度顶点

• 删除边(u,v)，然后用新的顶点w取代u、v，并使w和除u,v外的所有与u,v关联的边关联，称这个变换为收缩边

• 如果两个图$G_1$和$G_2$同构，或经过反复插入或者消去二度顶点后同构，则称$G_1$与$G_2$同胚

• 如果$G_1$经过若干次收缩边得到$G_2$，则称$G_1$可收缩到$G_2$

库拉图斯基定理

• 一个图平面图当且仅当它不含与$K_5$同胚的子图，也不含与$K_(3,3)$同胚的子图
• 一个图平面图当且仅当它不含收缩到$K_5$的子图，也不含收缩到$K_(3,3)$的子图

对偶图

设G是一个平面图的平面嵌入，构造图$G^*$如下：在G的每一个面$R_i$中放置一个顶点$v_i$。对G的每一条边e,若e与G的面$R_i$与$R_j$的公共边界上，则做边$e^*=(v_i^*,v)j^*)$与e相交，且不与其他任何边相交。若e为G中的桥且在面$R_i$的边界上，则做以$v_i^*$为端点的环$e^*=(v_i^*,v)i^*)$与e相交，且不予其他任何边相交，称$G^*$为$G$的对偶图

性质

着色

定义

设无向图G无环，对G的每一个顶点涂一种颜色，是相邻的顶点涂不同的颜色，称为图G的一种点着色，简称着色，若能用k种颜色给G的顶点着色，则称G是k-可着色的

举例

边着色

着色实例