图论-连通图学习总结

一、有向图

 有向图的问题就是直接Tarjan求强连通分量，然后搞就行。

二、无向图

1、割点和桥

 无向图的割点和桥的求法和有向图的差不多，唯一多的限制就是不能从该点往他的父亲走，当然可能会有重边。但有统一的解决方法，那就是标记走过的边，既然是无向图，那么加边的时候肯定加两条边（这俩边的编号关系就是相互^1），那么就走一条边时，把另一条边标记即可。

        if(g[i].use) continue;
        g[i].use=g[i^1].use=1;

（1）割点：假设dfs时，点u是点v的父亲。只需要判断low[v]>=dfn[u]即可，也就是说v点没有指向u祖先的边，那么割掉u后，v和u的祖先肯定就不连通。

定义：在一个无向图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，图的连通分量增多，就称这个点集为割点集合。如果某个割点集合只含有一个顶点X（也即{X}是一个割点集合），那么X称为一个割点。

（2）桥：求桥时只需判断low[v]>dfn[u]即可，等于也不行，割掉这条边u和v就不连通了。

    			lowu=min(lowu,lowv);
			if(lowv>dfn[u])
			{
				bs[++tot]=Bridge(u,v);
				if(bs[tot].from>bs[tot].to)
					swap(bs[tot].from,bs[tot].to);
			}	

定义：假设有连通图G，e是其中一条边，如果G-e是不连通的，则边e是图G的一条割边。此情形下，G-e必包含两个连通分支。（割掉该边时，图的连通分量增多）。

（3）点双连通分量：假设dfs时，点u是点v的父亲，也是判断low[v]>=dfn[u]即可。点双和割点密切相关，因为点双中没有割点，所以某些点双的公共点就是割点，割点是各点双的分界点，所以遇到割点时，也就意味着有点双已经形成，并且由于所有的点只遍历一遍，所以不能将割点出栈，要、之后还要把它放进他属于的某些点双里。（bcc存的是各点双里的点，bccnum代表点双的个数。）

            if(low[v]>=dfn[u])
            {
                iscut[u]=1;
                bccnum++;
                while(sta[top]!=v)
                    bcc[bccnum].push_back(sta[top--]);
                bcc[bccnum].push_back(sta[top--]);
                bcc[bccnum].push_back(u);
            }

定义：对于一个连通图，如果任意两点至少存在两条点不重复路径，则称这个图为点双连通的（简称双连通）。点双连通图的定义等价于任意两条边都同在一个简单环中，对一个无向图，点双连通的极大子图称为点双连通分量（简称双连通分量）。（也就是点双中没有割点。）可以理解为若干个有边相交的环。

特别性质：一个点双中，如果某些点在一个奇圈中，其他点也在某些奇圈中。

（4）边双连通分量：假设dfs时，点u是点v的父亲，也是判断low[v]>dfn[u]即可。同理，边双和桥密切相关，因为边双中没有桥，所以连接两个边双的就是桥。

定义：如果任意两点至少存在两条边不重复路径，则称该图为边双连通的。边双连通图的定义等价于任意一条边，至少在一个简单环中。边双连通的极大子图称为边双连通分量。

不管求什么，都离不开Trajan，清楚dfn，low数组以及Trajan算法的思想，那些题总是能做出来的。（但是我太菜。。。。。。。）