模n剩余类环的可逆元素求解（MATLAB）

模$n$剩余类环$Z_n$的可逆元素求解（MATLAB）

群环域的介绍

1、群（Group）的概念可以理解为：一个集合以及定义在这个集合上的二元运算，满足群的四条公理，封闭性、结合性、单位元、逆元素。
封闭性即集合内的元素做二元运算所得到的结果仍在这个集合内。
结合性即对集合内的元素a,b,c满足a+(b+c)=(a+b)+c
单位元即存在一个元素e对二元运算“+”满足e+a = a+e=a
可逆元即对集合内的元素a存在一个元素b满足a+b=b+a=e

阿贝尔群(Abelian Group)即可交换群是在满足群的基础上在加上一个可交换的属性。
可交换性即对集合内的元素a,b对二元运算.满足a+b=b+a

在群的基础上还有环和域的概念，在此简单介绍。
2、环(Ring)是在阿贝尔群的基础上，添加一种二元运算“.”·(乘法，但不同于初等代数的乘法)，“.”需要满足封闭性，结合性，除此之外，“+”与“.”满足分配律，其代数结构是环(R, +, ·)
分配律即对集合内的元素a,b,c有a.(b+c)=(a.b)+(a.c)

注意此时加法的单位元e被记做0元素

3、域(Field)是在交换环的基础上，还增加了二元运算除法，要求元素(除零以外)可以作除法运算，即每个非零的元素都要有乘法逆元。由此可见，域是一种可以进行加减乘除(除0以外)的代数结构，是数域与四则运算的推广。
注意整数集合不是域，因为整数的倒数不是整数。有理数、实数、复数可以形成域，分别叫有理数域、实数域、复数域。

从群到环，再到域，可以说是一个条件逐渐收敛的过程。

如果想了解更多的群环域知识，可以找一本近世代数的书籍进行观看阅读

模n剩余类环的介绍

模n剩余类环是在数论中模运算的基础上构成环的，在此简单介绍一下取模运算。

定理1
假设a和b均为正数，m是一正整数，若m整除b-a，则可将其表示为a=b(mod m)。式a=b(mod m)读作：“a与b模m同余”，正整数m称为模数。
注意上述定理中的“=”实为恒等于，笔者没有表示出来。

令$Z_n$表示集合{0,1,…,n-1},在其上定义加法和乘法运算，其运算类似于普通的实数域上的加法和乘法，所不同的知识所得到的值都是取模后的余数。
例如在$Z_9$上计算$7+6=4$，因为$7+6=13=1\ast 9+4$,计算$7\ast 3=3$，因为$7\ast 3=21=2\ast 9+3$。
注意有时间的同学可以证明一下$Z_n$是一个环，是显然的，也可以找一本近世代数的书籍，应该都有这个证明。

求解可逆元素代码

在剩余类环中显然乘法的单位元是元素1，在寻找元素的可逆元之前，需要找到存在可逆元的元素，显然，存在可逆元的元素$a$一定是与$Z_n$中的$n$互素的元素，也即是$gcd(a,n)=1$
寻找$Z_n$中的全部存在可逆元的元素很容易，通过遍历1至$n-1$即可，在此我用了一个husu函数来求解存在可逆元的元素，难点是如何对存在可逆元的元素求出其逆元，在此我也是通过遍历来求解，我命名为sol函数，最后编译一个简单的主函数main即可求解。
所有代码如下：

function [e,arr] = husu(n)
%输入数字n返还欧拉数e(n)和互素的元素集合数组arr;
A=zeros(1,100);%初始定义欧拉数组
k=0;%欧拉函数初始为0
for i=1:n
    if gcd(i,n)==1
        k=k+1;
        A(1,k)=i;
    end
end
%处理欧拉数组
e = k;
arr=A(1,1:e);
end

function [arr1] = sol(e,arr,n)
%输入欧拉数和欧拉数组输出欧拉数组里元素的逆元
arr1=zeros(1,e);
for i=1:e
    for j=0:n
        so=(j*n + 1)/arr(1, i);
        if((so==fix(so))==1)
            arr1(1,i)=so;
        break
    end
end
end

function [sss] = main(n)
%主函数求解
 [e,arr] = husu(n);
 arr
 sss= sol(e,arr,n);
end

当求解$Z_9$结果如下图。

即在$Z_9$中，存在可逆元的元素是$1,2,4,5,7,8$,其逆元分别是$1,5,7,2,4,8$。

小结

这次写这篇博客是因为完成一个小作业时需要求解多个模$n$剩余类环中存在逆元的元素及其逆元，手算太麻烦了，就想到用MATLAB求解，现在看来效果还蛮好。

这是我的第二篇博客了，个人比较懒，很少写，希望这学期课少，能多写点博客，把自己学到的知识表达出。

与诸君共勉!