P4127 [AHOI2009]同类分布 数位DP 经典题

这道数位DP对初学者来说还是很有难度的。

//dp[i,j,k]处理到第i位，前面位数字和为j，前面数位组成的数模p等于k，且剩余数未确定的状态下：数模p==0的数的个数 

为什么要这么设状态呢？

我们首先分析：要求某个数x，其数位和sm，求x%sm的数的个数。

每个数的x与sm都不同，不方便记忆化。（之前做的数位dp都是只有x未知，不存在其他变量，只存在限制条件）

观察易得：sm最大为9*18，完全可以通过枚举来确定sm，也就是固定一个变量，我们要求所有x%sm==0的数的个数。

这样变量就只有x了，就能用之前数位dp的做法来做这道题了。

由于我们枚举了最终的sm，我们要记录数位和的状态，和当前位之前的数模sm的结果（方便记忆化和判断数是否满足条件）

如果某个数前面i位的数已经固定，且这些数模p为j，这些数的数位和为sm，那么对于后面位的数满足最终条件的数的个数是固定的，这样就可以记忆化了。

具体实现看代码，多想想就理解了。

#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
#define ls (o<<1)
#define rs (o<<1|1)
#define pb push_back
const double PI= acos(-1.0);
const int M = 1e5+7;
/*
int head[M],cnt=1;
void init(){cnt=1,memset(head,0,sizeof(head));}
struct EDGE{int to,nxt,w;}ee[M*2];
void add(int x,int y,int w){ee[++cnt].nxt=head[x],ee[cnt].w=w,ee[cnt].to=y,head[x]=cnt;}
*/
int di[27];
//dp[i,j,k]处理到第i位，前面位数字和为j，前面数位组成的数模p等于k，且剩余数未确定的状态下：数模p==0的数的个数 
ll dp[27][207][207];
//处理到len位，上一位是否达到上界(limit)，上一位及之前位数和为sm，len位及以后的位数未确定，此时状态下，满足条件的数的个数，
//如果全部确定则个数为0或1 
int p;
ll dfs(int len,bool limit,int sm,int md)
{
	if(len==0)return (md==0 && sm==p);
	if(!limit && ~dp[len][sm][md])return dp[len][sm][md];
	ll cnt=0;
	int up=limit?di[len]:9;
	for(int i=0;i<=up;i++)
		cnt+=dfs(len-1,limit&&i==up,sm+i,(md*10+i)%p);
	if(!limit)dp[len][sm][md]=cnt;
	return cnt;
}
ll cal(ll n)
{
	
	int k=0;
	while(n)
	{
		di[++k]=n%10;
		n/=10;
	}
	ll ans=0;
	for(int i=1;i<=180;i++)
	{
		memset(dp,-1,sizeof(dp));
		p=i;
		ans+=dfs(k,true,0,0);
	}
	return ans;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
  	cin.tie(0);
  	ll a,b;
  	cin>>a>>b;
  	cout<