Machine Learning第九讲[推荐系统] --(三)低秩矩阵分解

内容来自Andrew老师课程Machine Learning的第九章内容的Low Rank Matrix Factorization部分。


一、Vectorization: Low Rank Matric Factorization(向量化: 低秩矩阵分解)

我们仍然使用之前movie的例子:
Machine Learning第九讲[推荐系统] --(三)低秩矩阵分解_第1张图片
将这些数据写成矩阵的形式,即右边的Y矩阵,又因为用户j对电影i的评分预测值为:
因此Y矩阵对应的预测值应为:
Machine Learning第九讲[推荐系统] --(三)低秩矩阵分解_第2张图片

我们记:
Machine Learning第九讲[推荐系统] --(三)低秩矩阵分解_第3张图片Machine Learning第九讲[推荐系统] --(三)低秩矩阵分解_第4张图片
则:

Machine Learning第九讲[推荐系统] --(三)低秩矩阵分解_第5张图片
 
上述就是协同矩阵的向量化。

那么我们应该怎样来找出相关商品呢?
首先对于每一个产品i,我们找出其特征向量
找出使两个商品特征比较相同的产品,即可以找出使得最小的五个商品,则这5个商品就是和i最相似的5个商品,既可以作为相关产品推荐。

二、Implementational Detail: Mean Normalization(实现细节: 均值归一化)


假设我们有下面一组数据:

Machine Learning第九讲[推荐系统] --(三)低秩矩阵分解_第6张图片

即有一个用户Eve没有对任何电影进行评价,这时候如果我们使用之前的方法测Eve对每部电影的评分,则最小化图上的公式,因为对于任意i,Eve都没有评分过,因此①式r(i, j)=1条件不满足,因此①对于最小化Eve的数据没有作用,②也没有作用,因此对于最小化Eve数据有作用的便是③式,即,因此二者都为0,因此,于是对于Eve的预测评分都为0。虽然结果是得出来了,但是这个结果我们没办法用来推荐,因为对所有的电影,其都为0。

因此,我们引入归一化:

Machine Learning第九讲[推荐系统] --(三)低秩矩阵分解_第7张图片

即对于某一部电影,利用已经评过分的值(?不计算在内),计算出平均分,记为μ,于是归一化矩阵为原来的Y的每一个数减去这一行(这一部电影)对应的平均值,得到新的Y,如图片右侧所示(?的仍为?),利用这个新的Y矩阵学习θ和x的值。则对于Eve,之前关于最小化的分析仍成立,即

归一化之后的预测值公式为:


因此对于Eve的预测值为:

Machine Learning第九讲[推荐系统] --(三)低秩矩阵分解_第8张图片

其实对于这个预测结果我们是可以接受的,因为我们不知道Eve的喜好,因此把她的评分预测为平均水平。


特殊情况:若出现有一部电影无评分的情况,则可以考虑使每列的均值为0,即计算每列的均值,用Y减去对应列的均值得到新的Y矩阵。


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