ZOJ 2112 Dynamic Rankings（主席树套树状数组+静态主席树）

题意：给定一个区间，求这个区间第k小的数，支持单点修改。

思路：主席树真是个神奇的东西.........速度很快但是也有一个问题就是占用内存的很大，一般来说支持单点修改的主席树套树状数组空间复杂度为O(n*logn*logn), 如果查询较少的话，可以初始的时候用一颗静态主席树，这样空间复杂度可以降为O(n*logn+q*logn*logn)，勉强可以过zoj这道题。

这道题看了好久好久才懂...网上题解一般就几句话.......下面是自己的一些理解。

首先静态主席树这个东西其实比较好懂，就是对于每个前缀[1,1],[1,2]....[1,n]都建一颗线段树，将数据离散化后，在线段树中统计区间内所有值出现的次数，每一个线段树都是相同的形态，那么这样我们得到一个很好的性质，这些线段树可以“相减”，假设当前查询的是区间[l,r]内第k大的值，那么我们用前缀[1, r]这个线段树和前缀[1, l-1]这颗线段树通过相减加上二分就可以找到答案。由于相邻两颗线段树最多只有logn个节点不同，我们没有必要完全新建一颗线段树，只需要把相同的结点用指针指一下就行，然后新建logn个结点，这样一来时空复杂度为n*logn。

对于动态查询的主席树，如果修改一个点的值，我们肯定不能修改所有包含这个点的线段树，时间复杂度无法承受。

那么我们就可以套上树状数组，个人感觉这里比较难懂。

树状数组的每个节点都是一颗线段树，但这棵线段树不再保存每个前缀的信息了，而是由树状数组的sum函数计算出这个前缀的信息，那么显而易见这棵线段树保存的是辅助数组S的值，即S=A[i-lowbit+1]+...+A[i],其中A[i]表示值为i的元素出现的次数。

那么对于每次修改，我们要修改树状数组上的logn棵树，对于每棵树，我们要修改logn个结点，所以时空复杂度为

O(（n+q）*logn*logn)，由于这道题n比较大，查询次数q比较小，所以我们可以初始时建立一颗静态的主席树，树状数组只保存每次修改的信息，那么时空复杂度降为了O（n*logn+q*logn*logn）。

代码参考自：http://www.cnblogs.com/kuangbin/p/3308118.html

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