最优化方法 21：加速近似梯度下降方法

我们证明了梯度方法最快的收敛速度只能是 $O(1/k^2)$（没有强凸假设的话），但是前面的方法最多只能达到 $O(1/k)$ 的收敛速度，那么有没有方法能达到这一极限呢？有！这一节要讲的**加速近似梯度方法(APG)**就是。这个方法的构造非常的巧妙，证明过程中会发现每一项都恰到好处的抵消了！真不知道作者是怎么想出来这么巧妙地方法，各位可以看看证明过程自行体会。

1. 加速近似梯度方法

首先说我们要考虑的优化问题形式还是
$$\text{minimize }f(x)=g(x)+h(x)$$
其中 $g$ 为光滑项，$\text{dom }g=R^n$，$h$ 为不光滑项，且为闭的凸函数，另外为了证明梯度方法的收敛性，跟前面类似，我们需要引入 Lipschitz-smooth 条件与强凸性质：
$$\frac{L}{2}{x}^{T}x-g(x),g(x)-\frac{m}{2}{x}^{T}x\text{convex}$$
其中 $L>0,m\ge 0$，$m$ 可以等于 0，此时就相当于没有强凸性质。

然后我们就来看看 APG(Accelerated Proximal Gradient Methods) 方法到底是怎么下降的。首先取 $x_0=v_0,{\theta }_0\in (0,1]$，对于每次迭代过程，包括以下几个步骤：

1. 求 ${\theta }_k$：$\frac{{\theta }_k^2}{t_k}=\left(1-{\theta }_k\right){\gamma }_k+m{\theta }_k\text{ where }{\gamma }_k=\frac{{\theta }_{k-1}^2}{t_{k-1}}$
2. 更新 $x_k,v_k$：

$$\begin{array}{rl}y& =x_k+\frac{{\theta }_k{\gamma }_k}{{\gamma }_k+m{\theta }_k}\left(v_k-x_k\right)\left(y=x_0\text{ if }k=0\right)\\ x_{k+1}& ={\mathrm{prox}}_{t_{k}h}\left(y-t_k\nabla g(y)\right)(★)\\ v_{k+1}& =x_k+\frac{1}{{\theta }_k}\left(x_{k+1}-x_k\right)\end{array}$$

这里面的关键就是上面的 $(★)$ 式，对比前面讲过的近似梯度下降法实际上是
$$x_{k+1}={\mathrm{prox}}_{t_{k}h}\left(x_k-t_k\nabla g(x_k)\right)$$
所以这里实际上主要的变化就是将 $x_k$ 换成了 $y$，那么 $y$ 跟 $x_k$ 又有什么不同呢？
$$\begin{gathered} y=x_k+\frac{{\theta }_k{\gamma }_k}{{\gamma }_k+m{\theta }_k}\left(v_k-x_k\right)=x_k+{\beta }_k\left(x_k-x_{k-1}\right) \\ {\beta }_k=\frac{{\theta }_k{\gamma }_k}{{\gamma }_k+m{\theta }_k}\left(\frac{1}{{\theta }_{k-1}}-1\right)=\frac{t_k{\theta }_{k-1}\left(1-{\theta }_{k-1}\right)}{t_{k-1}{\theta }_k+t_k{\theta }_{k-1}^2} \end{gathered}$$
可以看到 $y=x_k+{\beta }_k\left(x_k-x_{k-1}\right)$ 实际上就是在 $x_k$ 的基础上增加了一个**“动量(Momentum)”**，如下图所示

我们自然的要关注 ${\beta }_k,{\theta }_k$ 的大小以及有什么性质。首先对于参数 ${\theta }_k$ 它是根据二次方程一步步迭代出来的
$$\frac{{\theta }_k^2}{t_k}=\left(1-{\theta }_k\right)\frac{{\theta }_{k-1}^2}{t_{k-1}}+m{\theta }_k$$
可以有几个主要结论：

1. 如果 $m>0$ 且 ${\theta }_0=\sqrt{m{t}_0}$，那么有 ${\theta }_k=\sqrt{m{t}_k},\forall k$
2. 如果 $m>0$ 且 ${\theta }_0\ge \sqrt{m{t}_0}$，那么有 ${\theta }_k\ge \sqrt{m{t}_k},\forall k$
3. 如果 $m{t}_k<,$，那么有 ${\theta }_k<1$

下面可以看几个关于 ${\theta }_k,{\beta }_k$ 随着迭代次数 $k$ 的变化：

如果我们取前面的 APG 方法中的 $m=0$，然后消掉中间变量 $v_k$，就可以得到 FISTA(Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm) 算法
$$\begin{array}{rl}y& =x_k+{\theta }_k\left(\frac{1}{{\theta }_{k-1}}-1\right)\left(x_k-x_{k-1}\right)\left(y=x_0\text{ if }k=0\right)\\ x_{k+1}& ={\mathrm{prox}}_{t_{k}h}\left(y-t_k\nabla g(y)\right)\end{array}$$

2. 收敛性分析

前面已经了解了基本原理，下面需要证明一下为什么他可以达到 $O(1/k^2)$ 的收敛速度。作为类比，我们先回忆一下之前是怎么证明梯度方法/近似梯度方法的收敛性的？
$$\begin{array}{rl}(GD)& f\left(x^{+}\right)-f^{\star }\le \nabla f(x{)}^T\left(x-x^{\star }\right)-\frac{t}{2}\Vert \nabla f(x){\Vert }_2^2\\ ⟹& f\left(x^{+}\right)-f^{\star }\le \frac{1}{2t}\left({\Vert x-x^{\star }\Vert }_2^2-{\Vert x^{+}-x^{\star }\Vert }_2^2\right)\\ (SD)& 2t\left(f(x)-f^{\star }\right)\le {\Vert x-x^{\star }\Vert }_2^2-{\Vert x^{+}-x^{\star }\Vert }_2^2+t^2\Vert g{\Vert }_2^2\\ (PD)& f\left(x^{+}\right)\le f(z)+G_t(x{)}^T(x-z)-\frac{t}{2}{\Vert G_t(x)\Vert }_2^2-\frac{m}{2}\Vert x-z{\Vert }_2^2\\ ⟹& f\left(x^{+}\right)-f^{\star }\le \frac{1}{2t}\left({\Vert x-x^{\star }\Vert }_2^2-{\Vert x^{+}-x^{\star }\Vert }_2^2\right)\end{array}$$
对于这一节的 APG 方法，证明思路是首先证明下面的迭代式子成立
$$\begin{gathered} f\left(x_{i+1}\right)-f^{\star }+\frac{{\gamma }_{i+1}}{2}{\Vert v_{i+1}-x^{\star }\Vert }_2^2 \\ \le \left(1-{\theta }_i\right)\left(f\left(x_i\right)-f^{\star }+\frac{{\gamma }_i}{2}{\Vert v_i-x^{\star }\Vert }_2^2\right)\text{ if }i\ge 1 \end{gathered}$$
对比后发现实际上之前我们考虑的是 $f(x^{+})-f^{\star }$ 的迭代式子，而这里我们加了一个小尾巴，考虑 $f(x^{+})-f^{\star }+\frac{{\gamma }_{i+1}}{2}{\Vert v_{i+1}-x^{\star }\Vert }_2^2$ 的收敛速度。证明一会再说，有了这个迭代关系式，那么就可以有
$$\begin{array}{rl}f\left(x_k\right)-f^{\star }& \le {\lambda }_k\left(\left(1-{\theta }_0\right)\left(f\left(x_0\right)-f^{\star }\right)+\frac{{\gamma }_1-m{\theta }_0}{2}{\Vert x_0-x^{\star }\Vert }_2^2\right)\\ & \le {\lambda }_k\left(\left(1-{\theta }_0\right)\left(f\left(x_0\right)-f^{\star }\right)+\frac{{\theta }_0^2}{2t_0}{\Vert x_0-x^{\star }\Vert }_2^2\right)\end{array}$$
其中 ${\lambda }_1=1$，${\lambda }_k={\prod }_{i=1}^{k-1}\left(1-{\theta }_i\right)\text{ for }k>1$，如果能证明 ${\lambda }_k\sim O(1/k^2)$ 就能证明收敛速度了。好了，下面就是非常巧妙而又繁琐的证明过程了。

这个证明过程很繁琐，为了更容易顺下来，这里列出来其中几个关键的等式/不等式（为了简便省略了下标）：

1. ${\gamma }^{+}-m\theta =(1-\theta )\gamma$（易证）
2. ${\gamma }^{+}{v}^{+}={\gamma }^{+}v+m\theta (y-v)-\theta G_t(y)$
3. $\begin{array}{rl}f\left(x^{+}\right)-f^{\star }\le & (1-\theta )\left(f(x)-f^{\star }\right)-G_t(y{)}^T\left((1-\theta )x+\theta x^{\star }-y\right)-\frac{t}{2}{\Vert G_t(y)\Vert }_2^2-\frac{m\theta }{2}{\Vert x^{\star }-y\Vert }_2^2\end{array}$
4. $\begin{array}{rl}\frac{{\gamma }^{+}}{2}{\Vert v^{+}-x^{\star }\Vert }_2^2\le & \frac{{\gamma }^{+}-m\theta }{2}{\Vert v-x^{\star }\Vert }_2^2+G_t(y{)}^T\left(\theta x^{\star }+(1-\theta )x-y\right)+\frac{t}{2}{\Vert G_t(y)\Vert }_2^2+\frac{m\theta }{2}{\Vert x^{\star }-y\Vert }_2^2\end{array}$

(3,4) 条结合就能得到上面的迭代关系式，很多项刚好消掉。下面就是要证明 ${\lambda }_k\sim O(1/k^2)$：
$$\begin{gathered} {\gamma }_{k+1}=(1-{\theta }_k){\gamma }_k+m{\theta }_k \\ {\lambda }_{i+1}=\left(1-{\theta }_i\right){\lambda }_i=\frac{{\gamma }_{i+1}-{\theta }_{i}m}{{\gamma }_i}{\lambda }_i\le \frac{{\gamma }_{i+1}}{{\gamma }_i}{\lambda }_i⟹{\lambda }_k\le {\gamma }_k/{\gamma }_1 \\ \frac{1}{\sqrt{{\lambda }_{i+1}}}-\frac{1}{\sqrt{{\lambda }_i}}\ge \frac{{\theta }_i}{2\sqrt{{\lambda }_{i+1}}}=\frac{1}{2}\sqrt{{\gamma }_1{t}_i} \end{gathered}$$
然后就可以有
$${\lambda }_k\le \frac{4}{{\left(2+\sqrt{{\gamma }_1}{\sum }_{i=1}^{k-1}\sqrt{t_i}\right)}^2}=\frac{4t_0}{{\left(2\sqrt{t_0}+{\theta }_0{\sum }_{i=1}^{k-1}\sqrt{t_i}\right)}^2}$$
如果取 $t_0=t_k=1/L,{\theta }_0=1$，则有
$${\lambda }_k\le \frac{4}{(k+1{)}^2}$$
如果有强凸性质，也即 $m>0$，那么取 ${\theta }_0\ge \sqrt{m{t}_0}⟹{\theta }_k\ge \sqrt{m{t}_k}$
$${\lambda }_k\le {\Pi }_{i=1}^{k-1}(1-\sqrt{m{t}_i})$$
这就可以变成线性收敛了。

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