程序设计思维与实践 Week8 作业
文章目录
- Problem A - 区间选点 II
- Description
- Input
- Output
- Sample Input
- Sample Onput
- Note
- Idea
- Codes
- Problem B - 猫猫向前冲
- Description
- Input
- Output
- Sample Input
- Sample Onput
- Idea
- Codes
- Problem C - 班长竞选
- Description
- Input
- Output
- Sample Input
- Sample Onput
- Note
- Idea
- Codes
Problem A - 区间选点 II
Description
给定一个数轴上的 n 个区间，要求在数轴上选取最少的点使得第 i 个区间 [ai, bi] 里至少有 ci 个点 使用差分约束系统的解法解决这道题
Input
多组数据。
输入第一行一个整数 n 表示区间的个数，接下来的 n 行，每一行两个用空格隔开的整数 a，b 表示区间的左右端点。1 <= n <= 50000， 0 <= ai <= bi <= 50000 并且 1 <= ci <= bi - ai+1。
Output
输出一个整数表示最少选取的点的个数
Sample Input
5
3 7 3
8 10 3
6 8 1
1 3 1
10 11 1
Sample Onput
6
Note
Idea
如果用差分约束系统来解决题目，那就需要先找到所有的约束。 第 i 个区间 [ai, bi] 里至少有 ci 个点 那也就是说，如果设点i到1需要放的点数为Sum[i],就有Sum[bi]-Sum[ai-1]>=ci.但是也要注意到 Sum[x]<=Sum[x+1]但是Sum[x]-Sum[x-1]<=1。就是说后面的点的S值肯定>=前一顶点，但最多也就多1。所以整理所有约束条件：
Sum[bi] = Sum[ai-1]+ci
Sum[i] = Sum[i-1]+0
Sum[i-1] = Sum[i]-1
把从0---MAX(bi)视为图中的各个顶点，边界0视为源点，那么每个点到前一顶点的有向边距离认为必须>=0,每个点到后一顶点的有向边距离必须>=-1.某个点bi到点ai-1之间的距离必须>=ci，可以先认为他们最开始的权就是这些限制。然后需要求在已知限制的情况下取得图中MAX(bi)点到源点的最长路径的权值和的最小解。===>可以使用SPFA求最长路、判断条件设置>=来处理。
Codes
重测数据
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int MAXN=200005;
const int maxn=50005;
const int inf=1e8;
int n, MAX;
struct Edge{
int to,w,next;
}e[MAXN];
int head[maxn],sum[maxn],tot;
bool vis[maxn];
queue q;
void init(){
tot=0;MAX=-1;
memset(head,-1,sizeof(head));
}
void addEdge(int u,int v,int w){
e[tot].to=v;
e[tot].w=w;
e[tot].next=head[u];
head[u]=tot;
tot++;
}
void spfa(int s) {
for(int i = 0; i <= MAX; ++i)
sum[i] = -inf;
memset(vis,false,sizeof(vis));
q.push(s); sum[s] = 0; vis[s] = true;
while(!q.empty()) {
int u = q.front(); q.pop();
vis[u] = false;
for(int i = head[u]; i!=-1; i = e[i].next) {
int v = e[i].to;
if(sum[v] < sum[u] + e[i].w) {
sum[v] = sum[u] + e[i].w;
if(!vis[v]) {
q.push(v);
vis[v] = true;
}
}
}
}
cout<MAX?v:MAX;
addEdge(u,v+1,w);
}
++MAX;
for(int i=0;i<=MAX;++i) {
addEdge(i,i+1,0);
addEdge(i+1,i,-1);
}
spfa(0);
return 0;
}
Problem B - 猫猫向前冲
Description
众所周知， TT 是一位重度爱猫人士，他有一只神奇的魔法猫。
有一天，TT 在 B 站上观看猫猫的比赛。一共有 N 只猫猫，编号依次为1，2，3，…，N进行比赛。比赛结束后，Up 主会为所有的猫猫从前到后依次排名并发放爱吃的小鱼干。不幸的是，此时 TT 的电子设备遭到了宇宙射线的降智打击，一下子都连不上网了，自然也看不到最后的颁奖典礼。
不幸中的万幸，TT 的魔法猫将每场比赛的结果都记录了下来，现在他想编程序确定字典序最小的名次序列，请你帮帮他。
Input
输入有若干组，每组中的第一行为二个数N（1<=N<=500），M；其中N表示猫猫的个数，M表示接着有M行的输入数据。接下来的M行数据中，每行也有两个整数P1，P2表示即编号为 P1 的猫猫赢了编号为 P2 的猫猫。
Output
给出一个符合要求的排名。输出时猫猫的编号之间有空格，最后一名后面没有空格!
其他说明：符合条件的排名可能不是唯一的，此时要求输出时编号小的队伍在前；输入数据保证是正确的，即输入数据确保一定能有一个符合要求的排名。
Sample Input
4 3
1 2
2 3
4 3Sample Onput
1 2 4 3Idea
拓扑排序问题，另外需要注意要求最小字典序。拓扑排序可以用Kahn算法。
将所有入度=0的点组成集合。
• 每次从 S 里面取出一个顶点 u （可以随便取）放入 L , 然后遍历顶点 u 的 所有边 (u, v) , 并删除之，并判断如果该边的
另一个顶点 v，如果在移除 这一条边后入度为 0 , 那么就将这个顶点放入集合 S 中。不断地重复取 出顶点然后重复这个过程
• 最后当集合为空后，就检查图中是否存在任何边。如果有，那么这个图 一定有环路，否者返回 L , L 中顺序就是拓扑排序的结果
由于要确保最小字典序，这里我选择了优先级队列(升序)。每次把最小的入度=0的顶点从队列取出，保证了在排序合理的情况下能够让编号偏小的队伍在前。
Codes
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int MAXN=505;
const int MAXM=5000;
int N,M;
struct Edge{
int to,next;
}e[MAXM];
int head[MAXN],InDeg[MAXN],tot;
bool vis[MAXM];
struct cmp{
bool operator()(int r, int l){ return r>l; }
};
priority_queue,cmp > q;
vector ans;
void init(){
tot=0;
memset(head,-1,sizeof(head));
memset(InDeg,0,sizeof(InDeg));
ans.clear();
}
void addEdge(int p1,int p2){
e[tot].to=p2;
e[tot].next=head[p1];
head[p1]=tot;
++InDeg[p2];
tot++;
}
void Kahn(){
for(int i=1;i<=N;++i){
if(!InDeg[i]) q.push(i);
}
memset(vis,true,sizeof(vis));
while(q.size()){
int p1=q.top(); q.pop();
ans.push_back(p1);
for(int i = head[p1]; i!=-1; i = e[i].next){
int p2 = e[i].to;
if(vis[i]){
if(--InDeg[p2]==0) q.push(p2);
vis[i]=false;//边被删除
}
}
}
cout< Problem C - 班长竞选
Description
大学班级选班长，N 个同学均可以发表意见 若意见为 A B 则表示 A 认为 B 合适，意见具有传递性，即 A 认为 B 合适，B 认为 C 合适，则 A 也认为 C 合适 勤劳的 TT 收集了M条意见，想要知道最高票数，并给出一份候选人名单，即所有得票最多的同学，你能帮帮他吗？
Input
本题有多组数据。第一行 T 表示数据组数。每组数据开始有两个整数 N 和 M (2 <= n <= 5000, 0 对于每组数据，第一行输出 “Case x: ”，x 表示数据的编号，从1开始，紧跟着是最高的票数。 接下来一行输出得票最多的同学的编号，用空格隔开，不忽略行末空格！ PE多次，这次题目说的不要忽略行末空格我以为是行末空格也要带上，然而并不是。另外刚开始写了一遍然后运行发现一个样例都没有得到正确结果，之后分析是把后序，逆后序，生成的SCC编号之间的对应关系搞错了。 整体思路:如果把每个人看作一个点，那么那些互相可以通过意见传递发现两个人意见相互连通，那他们受到的支持票数是一样的。这些点就相当于一个有向图中的强连通分量。我们就可以先把点缩小至对应的强连通分量，因为一个分量中的点的票数都是一样的。找到强连通分量后，在原图遍历所有出度=0的强连通分量SCC(也就是反图的入度=0的SCC)。答案必然在这样的SCC中，所以只需要遍历每个入度=0的SCC，然后DFS计算能够到达的所有SCC，然后记得初始-1，因为本人不能给自己投票。 1.求SCC需要DFS得到后序序列，然后从后序序列的最后一个点往前DFS，如过遍历点时没有标记就说明是新的SCC，那些在逆后序序列中可以Output
Sample Input
2
4 3
3 2
2 0
2 1
3 3
1 0
2 1
0 2
Sample Onput
Case 1: 2
0 1
Case 2: 2
0 1 2
Note
Idea
从一个点访问到的都是同一个SCC。
2.遍历图中所有边，当边的两个顶点不属于同一SCC，from点[反图就是to点]所属的SCC出度[反图的入度]+1。
3.遍历所有点i，当 c[i] (所属的SCC)的入度InDeg[c[i]]=0，开始遍历寻找能够到达的所有SCC j，然后把他们的点数scc[j]都加到ANS[c[i]]
中，每次遍历完成后更新最大值。
4.遍历所有点，当对应的SCC的ANS值等于最大值时，打印Codes
#include