学习笔记--计算机中的数学

01--导数

谷歌无人驾驶、游戏极品飞车：自动驾驶算法

速度：Vx(t)=dPx/dt  Vy(t)=dPy/dt
极坐标下的速度方向：θ（t）= atan2(Vy(t),Vx(t))
t时刻方向盘的转角：w(t)=dθ/dt

P（t）--w(t)=========复杂求导

02--参变量函数

愤怒的小鸟---投射轨迹（入射速度和入射角度）

bezier曲线（贝塞尔曲线）----图形学

雷诺汽车外形设计

三维模型---点动成线，线动成面

03--泰勒展开

谷歌街景---多张照片拼成全景图

---寻找两张照片对应点（独特性越好越好找到对应点）
---独特性判断：计算图像帧某一位置周围小领域偏移一点后，灰度值相差越大独特性越好
----计算偏移量和灰度差值的关系：假设偏移量很小，可以进行泰勒展开

物体跟踪---光流法

求导是图像边缘检测必不可少的
---泰勒展开可以将离散情况下对图像或者语音信号的求导转换为加减操作
---同理，也可以将求二阶导用加加减减去操作

04--幂级数

用级数计算pi
用级数计算e

用泰勒展开将函数展开成一个幂级数

级数的用途
---将初等函数e^x等（难以计算、不利解析的分析），级数展开成多项式函数（四则运算，易于求导求积分），方便计算机的编程实现

---例如pow(x,y),exp(x),log(x),不调用math.h如何利用四则运算计算

傅里叶变换---音频分析（清华南都，周宏伟手机）
          ---双音多频信号

傅里叶级数---一般的周期函数不利于计算机的表达与处理，而三角函数表示的信号在传输过程中具有很良好的保真性。将一般周期函数展开成三角函数

05--隐函数

终结者中水银人变形的动画镜头，所采取的变形球（metaball）曲面生成的方法，就是将球的势能函数表达为隐函数来做成的

图像分割
从二维图像中分割出心脏的两个门腔--水平集法，核心是用隐函数表达不同物质之间的边界

06--矩阵计算

图像淡入淡出效果
--图像可以用矩阵表示
--图像A1（800x532），图像A2（800x532），令A（t）=(1-t)A1+tA2
--当时间t由0-1变化时，生成的一系列矩阵会形成A1到A2的淡入淡出效果

3维动画中物体位置的变化
矩阵的几何意义--三维空间的变化
              --三维点坐标可表示成三维列向量[X Y Z],当一个三维列向量左乘一个3x3的矩阵后是一个新的三维列向量[newx newy newz],也即是由一个坐标变化到了另一个坐标。一个变换就可以用一个3x3的矩阵来表示。
            ---复杂变换可以通过一些简单变换矩阵的连乘来实现

07--矩阵秩等概念

线性组合和矩阵的秩在图像恢复和识别中的作用

图像去噪、图像补全、人脸识别

图片可以用矩阵表示，矩阵又可以用向量表示，比如一张m x n的图片，用m n长的向量表示。

人脸识别--一个人的一张脸可以用本人的其他脸的近似来线性表示
        --给定识别的人脸图像，用数据库中的所有的人脸来线性表示，根据不同的人，将线性表示的系数分成不同的组（数据库中一个人一组），从直观上看，哪个组的参数比较大就说明这张脸是谁的可能性更大。

图像补全--抽象成矩阵补全，如果不加限制，空缺元素有许多可能性，大部分都是不合理的，而一个合理的限制，就是原始图像是低秩的。所谓低秩，就是说矩阵里列向量和行向量是线性相关的。

图像去噪--一个原始图像矩阵是低秩的，有噪点的矩阵可以看成是一个低秩矩阵加上一个噪点的矩阵。对于一个带有噪音的图像矩阵，可以表达成一个原始的清晰的低秩图像矩阵加上一个噪音矩阵（稀疏矩阵）

 

08--特征值

Aα=γα---特征值γ，特征向量α

好莱坞大片中在人群中搜寻一个特定的人，要使用到检测、人脸识别等功能，核心是要做到比较两个人脸图像的差别。人脸是用高维向量来表示的，比较高维向量的差异，最简单的思路就是对应元素之间的差别。但是高维向量维度很高，存在数据冗余，不能反映图像的本质特征，所以需要降维，使得数据能够反映这个人脸图像的最本质特征。降维的目的就是使保留下来的维数内的方差尽可能大，维度间的相关性尽可能小，使得样本间的区分度越大越好。要做到上述内容，需要进行主成分分析，而特征值和特征向量在其中会起到非常大的作用。

--比如二维数据点集的降成一维，希望数据点集区分度越大越好，那么需要找到一个方向，使得二维数据在这个方向上的投影（也就是降维后的一维点集）区分度很大。这个方向就需要特征值和特征向量来找。

--需要用到协方差矩阵，如果协方差矩阵对角线上的元素的值非常大而其他字很小，说明对应的数据集的区分度很大。协方差的主特征向量（就是最大的特征值对应的特征向量）就是我们要找的那个方向。

09--二次型
机器学习--学习与识别

二次型与正定矩阵

二次型可以用矩阵表示，而机器学习需要用到矩阵，所以二次型和机器学习关系密切。

正定二次型和半正定二次型

二次型、对称矩阵、正定矩阵、半正定矩阵---为机器学习中的“优化”和“表达”两个基本问题奠定基础

（优化）二次规划---目标函数（识别、聚类、分类）、约束条件（上下文先验条件）

表达---矩阵分解

10--方程组和线性规划

线性规划的图解法--最优解在极点达到

变量太多没法用图解法怎么办？
线性方程组来了。

单纯形法---20世纪十大算法之一