同余式与拓展欧几里得

概念

在初等数论中，取模是一种非常重要的运算，通过取模运算我们可以写出一种类似等式的式子——同余式。在数论中我们有很多操作都是作用于同余式，同余式一般表现为：
$$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$
这个式子代表 a % p = b % p 。这也就是说 a 和 b 在 除 p 的情况下余数相等。

前置知识

1. 整除符号 ‘$|$’ , $a|b$ 代表b是a的倍数 ，b % a == 0。
2. $(a,b)=gcd(a,b)$
3. 整数分解定理: 任何一个正整数$k=sp+r,0<=s,0<=r<k,1<=p.$

同余式的性质

1. 如果$a\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

2. 如果$a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\Rightarrow b\equiv a(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

3. 如果 $a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ , $b\equiv c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ ,则 $a\equiv c(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

4. 如果 $a\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$ ,$\alpha \equiv \beta (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)\Rightarrow a\alpha \equiv b\beta (\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$

同余式某些定理证明过程（看不看都行）

1. 前三个式子就不用多说了，根据定义推出来的。
2. 第四个式子 根据同余式定义我们可以得出$m|(a-b),m|(\alpha -\beta )$ 我们让$(a-b)$扩大 $\alpha$ 倍,$(\alpha -\beta )$扩大 $b$ 倍,此时两个式子都是m的倍数，因此两个数做差还是m的倍数，即$m|\alpha (a-b)-b(\alpha -\beta )\Rightarrow m|(a\alpha -b\beta )$。

同余方程

1. 什么是同余方程
   $$ax\equiv b(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)$$
   上面的式子只是一个同余方程的通式，接下来我们举一个栗子来简单解释一下同余方程的解法。
2. 同余方程的解法
   $ax\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$， 根据同余式定义我们可以把刚才的式子写成$ax+by=1$，为什么会这样写？（其实都是这么写的，要是解同余方程组就是中国剩余定理）
   取余的定义在某种意义上讲就是 $a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b=1$ 等价于$a-k\ast b=1$同样的我们只是换了个写法 $ax\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)\Rightarrow ax+by=1$ , 这样我们就可以用拓展欧几里得（ex_gcd)来求解，根据题意需要经行某种约分。