图论 —— 生成树 —— 生成树计数 —— 基尔霍夫矩阵

【概述】

Matrix-Tree 定理又称基尔霍夫矩阵树定理,其用于解决:给定 n 个点 m 条边的无向图,求图的生成树个数的问题。

其利用线性代数中矩阵的行列式来进行求解,关于矩阵的行列式:点击这里

【基尔霍夫矩阵】

1.基本定义

1)无向图 G:给定 n 个点,m 条边的无向图,设点集为 V,边集为 E,则其记为 G(V,E)

2)度数矩阵 D[G]当 i≠j 时,D[i][j]=0,当 i=j 时,D[i][i]=点 vi 的度数

3)邻接矩阵 A[G]当 vi、vj 有边连接时,A[i][j]=1,当 vi、vj 无边连接时,A[i][j]=0

4)基尔霍夫矩阵(Kirchhoff) K[G]:也称拉普拉斯算子,其定义为 K[G]=D[G]-A[G],即:K[i][j]=D[i][j]-A[i][j]

例如:

图论 —— 生成树 —— 生成树计数 —— 基尔霍夫矩阵_第1张图片

2.基尔霍夫矩阵性质

对于任意一个图 G,其基尔霍夫矩阵 K 具有以下性质:

  1. 基尔霍夫矩阵 K 的每一行或每一列上的元素和都是 0
  2. 基尔霍夫矩阵 K 的行列式的值为 0
  3. 基尔霍夫矩阵 K 的任意一个代数余子式值都相同
  4. 如果图 G 不连通,基尔霍夫矩阵 K 的任意主子式行列式值为 0
  5. 如果图 G 是一棵树,基尔霍夫矩阵 K 的任意一个 n-1 阶主子式的行列式为 1

3.Matrix-Tree 定理

Matrix-Tree 定理的内容为:对于已经得出的基尔霍夫矩阵,去掉其随意一行一列得出的矩阵的行列式,其绝对值为生成树的个数

因此,对于给定的图 G,若要求其生成树个数,可以先求其基尔霍夫矩阵,然后随意取其任意一个 n-1 阶行列式,然后求出行列式的值,其绝对值就是这个图中生成树的个数

LL K[N][N];
LL gauss(int n){//求矩阵K的n-1阶顺序主子式
    LL res=1;
    for(int i=1;i<=n-1;i++){//枚举主对角线上第i个元素
        for(int j=i+1;j<=n-1;j++){//枚举剩下的行
            while(K[j][i]){//辗转相除
                int t=K[i][i]/K[j][i];
                for(int k=i;k<=n-1;k++)//转为倒三角
                    K[i][k]=(K[i][k]-t*K[j][k]+MOD)%MOD;
                swap(K[i],K[j]);//交换i、j两行
                res=-res;//取负
            }
        }
        res=(res*K[i][i])%MOD;
    }
    return (res+MOD)%MOD;
}
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(K,0,sizeof(K));
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        K[x][x]++;
        K[y][y]++;
        K[x][y]--;
        K[y][x]--;
    }
    printf("%lld\n",gauss(n));
    return 0;
}

 

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