2016年哈工大数理逻辑A期末考试参考答案

$一、求公式(p\to \neg r)\vee (\neg p\leftrightarrow q)的主合取范式和主析取范式。（10分）$
$真值表如下：$

$p$	$q$	$r$	$p\to \neg r$	$\neg p\leftrightarrow q$	$(p\to \neg r)\vee (\neg p\leftrightarrow q)$
0	0	0	1	0	1
0	0	1	1	0	1
0	1	0	1	1	1
0	1	1	1	1	1
1	0	0	1	1	1
1	0	1	0	1	1
1	1	0	1	0	1
1	1	1	0	0	0

$主合取范式\neg p\vee \neg q\vee \neg r$
$主析取范式(\neg p\wedge \neg q\wedge \neg r)\vee (\neg p\wedge \neg q\wedge r)\vee (\neg p\wedge q\wedge \neg r)\vee (\neg p\wedge q\wedge r)\vee (p\wedge \neg q\wedge \neg r)\vee (p\wedge \neg q\wedge r)\vee (p\wedge q\wedge \neg r)$
$二、分别{用}^{\prime }{\uparrow }^{\prime }{和}^{\prime }{\downarrow }^{\prime }等价表示公式(p\wedge q)\to (\neg q\wedge r)。（10分）$
$首先将公式化简$
$$\begin{array}{rl}(p\wedge q)\to (\neg q\wedge r)& ⟺\neg (p\wedge q)\vee (\neg q\wedge r)\\ & ⟺\neg p\vee \neg q\vee (\neg q\wedge r)\\ & ⟺\neg p\vee \neg q\\ & ⟺\neg (p\wedge q)\end{array}$$
${用}^{\prime }{\uparrow }^{\prime }表示$
$$\begin{array}{rl}(p\wedge q)\to (\neg q\wedge r)& ⟺\neg (p\wedge q)\\ & ⟺p\uparrow q\end{array}$$
${用}^{\prime }{\downarrow }^{\prime }表示$
$$\begin{array}{rl}(p\wedge q)\to (\neg q\wedge r)& ⟺\neg p\vee \neg q\\ & ⟺(p\downarrow p)\vee (q\downarrow q)\\ & ⟺((p\downarrow p)\downarrow (q\downarrow q))\downarrow ((p\downarrow p)\downarrow (q\downarrow q))\end{array}$$
$三、能否构造解释和指派使得公式A\to \forall vA为假？请举例说明。（5分）$
$设A中变元为v,论域D=\{0,1\},\bar{v}=1,\bar{A}(0)=F,\bar{A}(1)=T$
$在此解释下,可得\bar{A}(\bar{v})=T,\forall v\bar{A}=F$
$此时,公式\bar{A}(\bar{v})\to \forall v\bar{A}(v)=T\to F=F$
$四、判定下列逻辑蕴涵和逻辑等价是否成立。其中A,B,C,D为任意命题公式。（10分）$
$(1)\neg (C\wedge D)\to (A\to B),A,\neg D\Rightarrow B$
$假设不成立，那么一定存在一个指派使得左侧公式全真，右侧公式全假$
$那么一定有A=T,D=F,B=F$
$此时A\to B=T\to F=F,若想使\neg (C\wedge D)\to (A\to B)为真$
$则C\wedge D=T,即D=T,与上述条件中D=F矛盾$
$故通过反证法得，没有指派能够弄假右侧的同时弄真左侧，即所有能够弄真左侧的指派都能弄真右侧，此逻辑蕴含式成立$
$(2)(A\to C)\wedge (B\to C)\iff \neg (A\to \neg B)\to C$
$真值表如下:$

$A$	$B$	$C$	$A\to C$	$B\to C$	$(A\to C)\wedge (B\to C)$	$A\to \neg B$	$\neg (A\to \neg B)\to C$
0	0	0	1	1	1	1	1
0	0	1	1	1	1	1	1
0	1	0	1	0	0	1	1
0	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	1	0	1	1
1	0	1	1	1	1	1	1
1	1	0	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1	0	1

$由真值表可得，存在如A=F,B=T,C=F弄假左侧，弄真右侧的指派，故逻辑等价式不成立$
$五、在命题演算系统PC中证明：（20分）$
$(1)⊢\neg (A\to B)\to (A\to (B\to C))$
$1.B\to (A\to B)A1$
$2.\neg (A\to B)\to \neg B1逆否$
$3.\neg B\to (B\to (A\to C))定理3.1.3$
$4.\neg (A\to B)\to (B\to (A\to C))2,3三段论$
$5.(B\to (A\to C))\to (A\to (B\to C))4前件互换定理$
$6.\neg (A\to B)\to (A\to (B\to C))4,5三段论$
$(2)⊢((A\to \neg B)\to \neg (A\to \neg C))\to (\neg B\to C)$
$1.\neg B\to (A\to \neg B)A1$
$2.\neg (A\to \neg B)\to B1逆否$
$3.B\to (\neg B\to C)定理3.1.3$
$4.\neg (A\to \neg B)\to (\neg B\to C)2,3三段论$
$5.\neg C\to (A\to \neg C)A1$
$6.\neg (A\to \neg C)\to C5逆否$
$7.C\to (\neg B\to C)A1$
$8.\neg (A\to \neg C)\to (\neg B\to C)6,7三段论$
$9.(\neg (A\to \neg B)\to (\neg B\to C))\to ((\neg (A\to \neg C)\to (\neg B\to C))\to (((A\to \neg B)\to \neg (A\to \neg C))\to (\neg B\to C)))定理3.1.14$
$10.((A\to \neg B)\to \neg (A\to \neg C))\to (\neg B\to C)4,8,9r_{mp}$
$(3)⊢(C\to \neg (A\to B))\to ((C\to \neg A)\to \neg C)$
$1.\neg C\to ((C\to \neg A)\to \neg C)A1$
$2.\neg A\to (A\to \neg B)定理3.1.3$
$3.\neg (A\to B)\to A2逆否$
$4.(C\to \neg A)\to (A\to \neg C)逆否$
$5.A\to ((C\to \neg A)\to \neg C)4,前件互换定理r_{mp}$
$6.\neg (A\to \neg B)\to ((C\to \neg A)\to \neg C)3,5三段论$
$7.(\neg C\to ((C\to \neg A)\to \neg C))\to ((\neg (A\to \neg B)\to ((C\to \neg A)\to \neg C))\to ((C\to \neg (A\to B))\to ((C\to \neg A)\to \neg C)))定理3.1.14$
$8.(C\to \neg (A\to B))\to ((C\to \neg A)\to \neg C)1,6,7r_{mp}$
$(4)⊢((\neg A\to A)\to \neg B)\to ((\neg A\to \neg B)\to \neg B)$
$1.A\to (\neg A\to A)A1$
$2.\neg (\neg A\to A)\to \neg A1逆否$
$3.(\neg A\to \neg B)\to (\neg A\to \neg B)定理3.1.1$
$4.\neg A\to ((\neg A\to \neg B)\to \neg B)3,前件互换定理r_{mp}$
$5.\neg (\neg A\to A)\to ((\neg A\to \neg B)\to \neg B)2,4三段论$
$6.\neg B\to ((\neg A\to \neg B)\to \neg B)A1$
$7.(\neg (\neg A\to A)\to ((\neg A\to \neg B)\to \neg B))\to ((\neg B\to ((\neg A\to \neg B)\to \neg B))\to (((\neg A\to A)\to \neg B)\to ((\neg A\to \neg B)\to \neg B)))定理3.1.14$
$8.((\neg A\to A)\to \neg B)\to ((\neg A\to \neg B)\to \neg B)5,6,7r_{mp}$
$六、在ND中证明：（10分）$
$(1)⊢((\neg A\to B)\to \neg A)\to \neg A$
$只需证(\neg A\to B)\to \neg A⊢\neg A演绎定理$
$1.(\neg A\to B)\to \neg A;A;\neg A⊢A公理$
$2.(\neg A\to B)\to \neg A;A;\neg A⊢\neg A公理$
$3.(\neg A\to B)\to \neg A;A;\neg A⊢B1,2\neg 消除$
$4.(\neg A\to B)\to \neg A;A⊢\neg A\to B3\to 引入$
$5.(\neg A\to B)\to \neg A;A⊢(\neg A\to B)\to \neg A公理$
$6.(\neg A\to B)\to \neg A;A⊢\neg A4,5\to 消除$
$7.(\neg A\to B)\to \neg A;A⊢A$
$8.(\neg A\to B)\to \neg A⊢\neg A6,7\neg 引入$
$(2)⊢(A\vee B)\wedge (A\vee C)\to A\vee (B\wedge C)$
$只需证(A\vee B)\wedge (A\vee C)⊢A\vee (B\wedge C)演绎定理$
$1.(A\vee B)\wedge (A\vee C);A⊢A公理$
$2.(A\vee B)\wedge (A\vee C);A⊢A\vee (B\wedge C)1\vee 引入$
$3.(A\vee B)\wedge (A\vee C);\neg A⊢(A\vee B)\wedge (A\vee C)公理$
$4.(A\vee B)\wedge (A\vee C);\neg A⊢A\vee B3\wedge 消除$
$5.(A\vee B)\wedge (A\vee C);\neg A;A⊢\neg A公理$
$6.(A\vee B)\wedge (A\vee C);\neg A;A⊢A公理$
$7.(A\vee B)\wedge (A\vee C);\neg A;A⊢B5,6\neg 消除$
$8.(A\vee B)\wedge (A\vee C);\neg A;B⊢B公理$
$9.(A\vee B)\wedge (A\vee C);\neg A⊢B4,7,8\vee 消除$
$10.(A\vee B)\wedge (A\vee C);\neg A⊢A\vee C3\wedge 消除$
$11.(A\vee B)\wedge (A\vee C);\neg A;A⊢\neg A公理$
$12.(A\vee B)\wedge (A\vee C);\neg A;A⊢A公理$
$13.(A\vee B)\wedge (A\vee C);\neg A;A⊢C11,12\neg 消除$
$14.(A\vee B)\wedge (A\vee C);\neg A;C⊢C公理$
$15.(A\vee B)\wedge (A\vee C);\neg A⊢C10,13,14\vee 消除$
$16.(A\vee B)\wedge (A\vee C);\neg A⊢B\wedge C9,16\wedge 引入$
$17.(A\vee B)\wedge (A\vee C);\neg A⊢A\vee (B\wedge C)16\vee 引入$
$18.(A\vee B)\wedge (A\vee C)⊢A\vee (B\wedge C)2,17\neg 消除$