基尔霍夫矩阵&矩阵树定理学习笔记
背景：
好多东西没学。
勇士被快船惊天大逆转！！！
快船 N B NB NB。
紧接着下午打球水杯被搞烂了 . . . ... ...
正题：
P a r t 1 Part1 Part1行列式：
对于一个 n ∗ n n*n n∗n的矩阵 A A A。
设 p p p枚举列的全排列， τ ( p ) τ(p) τ(p)表示排列 p p p的逆序对的个数。
则其行列式为 d e t A = ∑ p ( − 1 ) τ ( p ) ∏ i = 1 n a i , p i det_A=\sum_p(-1)^{τ(p)}\prod_{i=1}^na_{i,p_i} detA=∑p(−1)τ(p)∏i=1nai,pi
那么这个东西有什么性质呢？
[ 1 ] [1] [1]：
交换行和列，则行列式结果的符号取反。
这很显然，因为逆序对的奇偶性刚刚好相反。
[ 2 ] [2] [2]：
两行或两列一样时，行列式结果为 0 0 0。
这很显然，因为 p p p全部枚举过了，且一定枚举到相同的序列，而 i i i又会枚举相等，所以成立。
[ 3 ] [3] [3]：
某一行或某一列乘上了 k k k，最后的结果也会乘 k k k。
这很显然，你考虑每一行或每一列的贡献，一个 ∏ \prod ∏有且仅会被枚举 1 1 1次乘 k k k的数，每一次乘 k k k，因此你将这个 k k k提取出 ∑ \sum ∑外面即可，那就是刚刚好乘 k k k。
[ 4 ] [4] [4]：
某一行是另一行的 k k k倍或某一列是另一列的 k k k倍，最后的结果为 0 0 0。
其实就是 [ 2 ] , [ 3 ] [2],[3] [2],[3]的结合体。你先提取出一个 k k k，那么就会存在某两行或某两列相等，那么结果就为 0 0 0了。
[ 5 ] [5] [5]：
某一行加上另一行的 k k k倍或某一行列加上另一列的 k k k倍，最后结果的不变。当某一行加上另一行的k倍时，行列式不变。
证明：可以从求和式子的每一项的那一行的那个元素下手，
把 d e t det det求和式拆成两个 d e t det det求和式（就是把被加上 k k k倍的哪一行/列拆为原来的和新加的）：
d e t 1 det_1 det1与原矩阵的行列式求法相同；
d e t 2 det_2 det2所代表的矩阵中有两行成比例，比例系数为 k k k，值为 0 0 0 （性质 [ 4 ] [4] [4]）。
所以相比原来的行列式，值不变。
至此，行列式就结束了。
P a r t 2 Part2 Part2基尔霍夫矩阵&矩阵树定理：
不知道是不是基尔霍夫电流顶定律的那个人发明的？
这里的基尔霍夫矩阵可以用来求无向图生成树的个数。
对于一个无向图 G G G，它的生成树个数等于其基尔霍夫矩阵任何一个 N − 1 N-1 N−1阶主子式的行列式的绝对值。
所谓的 N − 1 N-1 N−1阶主子式就是对于一个任意的一个 r r r，将矩阵的第 r r r行和第 r r r列同时删去得到的新矩阵。
基尔霍夫矩阵的一种求法（矩阵树定理）： 基 尔 霍 夫 矩 阵 K = 度 数 矩 阵 D − 邻 接 矩 阵 A 基尔霍夫矩阵K=度数矩阵D-邻接矩阵A 基尔霍夫矩阵K=度数矩阵D−邻接矩阵A。
解释一下：
度数矩阵 ( i , i ) (i,i) (i,i)表示 i i i这点的度，其余点均为0。
邻接矩阵 ( i , j ) (i,j) (i,j)表示 ( i , j ) (i,j) (i,j)连的边数；特别的，若 i = j i=j i=j，则为 0 0 0。
P a r t 3 Part3 Part3快速求行列式：
首先对于这样一个矩阵：
注意到是一个上三角矩阵（左下的值为 0 0 0，而右上有值）。
其行列式的值为对角线的乘积（同理下三角矩阵）。
因为只有 p p p的排列为 1234 1234 1234 时， ∏ \prod{} ∏后才没有 0 0 0出现，才对结果有贡献。
又因为性质 [ 5 ] [5] [5]，所以采用高斯消元的方法，把矩阵消为一个上三角矩阵后，然后求出对角线的积，便是该矩阵的行列式的值。
复杂度 Θ ( n 3 ) \Theta(n^3) Θ(n3)。
P a r t 4 Part4 Part4应用：
我们可以用上述方法求解基尔霍夫矩阵，就能解决一些问题：
[ 1 ] [1] [1]：
求无向图生成树的个数。
[ 2 ] [2] [2]：
内向树：树上的边是由儿子指向父亲；
外向树：树上的边是由父亲指向儿子。
若求内向生成树的个数，则 D i , i D_{i,i} Di,i表示入度即可；
若求外向生成树的个数，则 D i , i D_{i,i} Di,i表示出度即可。