【算法详解】：Manacher

问题导入：

现在有一个长度$S$的字符串，现在需要求出这个字符串中的最大回文子串。

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算法举例：

• 最朴素算法，枚举回文串的对称中心，分别先左和向右扩展，依次更新最大值。算法复杂度$O(n^2)$。
• $Hash$+ 二分：计算字符串的前缀$Hash$值，枚举中点，二分回文字串的长度。算法复杂度$O(nlogn)$。
• 回文自动机，代码复杂，思维难度大，算法复杂度$O(n)$。
• $Manacher$，代码简单，思维难度不高，算法复杂度$O(n)$。

显然，$Manacher$是一种简单有实惠的算法，现在来解释一下这个算法。

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Manacher算法：

回文串的对称中心有奇有偶，判断起来有点麻烦，这里引入一个小技巧，在每个字符的左右都插入‘#’，
如$S="aabb"$，在插入字符后就变成了$S="$#$a$#$a$#$b$#$b$ $"$，可以在字符串的首尾加入$2$个奇怪的字符，以防数组越界。

我们还需要引入辅助数组$p[i]$，表示以$i$为对称中心的最长回文串的半径长度，例如下图：

显然可知，$max\{p[i]-1\}$就是这个字符串中的最大回文子串。因此$Manacher$算法的根本目的就是求出上述的所有$p[i]$。

我们使用$mx$表示当前的回文子串的右边界，$id$表示当前回文子串的对称中心，如图：

如果$i<mx$，$j$为$i$对于$id$的对称点，$j=2\ast id-1$，因为$id$到$mx$的子串等于$mx$的对称点到$id$的子串，所以在$mx$的对称点到$j$的最大回文长度就是$i$到$mx$的回文长度，那么$p[i]$的初始值就是$p[i]=min(p[j],mx-i)$。

如果$i>mx$，那么说明在$i$没有相应的对称点，那么$p[i]$的初始值就是$1$。

初始值确定后，就根据初始值向两边暴力比较扩展，且注意更新$id$和$mx$的值。

Manacher复杂度分析：

如果$i<mx$且$p[i]=p[j]$，那么单次求解的时间复杂度为$O(1)$。
反之，那么一定回向外扩展，就会使$mx$更新，使之增大，复杂度是$O(n)$的。

综上所述，$Manacher$算法的复杂度是线性的。

代码如下：

#include 
using namespace std;

const int N = 31001000;
int n, m;
int p[N] = {}, tot = 0;
char s[N];

inline void input() {
	char ch = getchar();
	while (ch >= 'a' && ch <= 'z') 
		s[++ tot] = ch, s[++ tot] = '#', ch = getchar();
}

int main() {
	s[tot] = '$';
	s[++ tot] = '#'; 
	input();
	int ans = 0;
	int mx = 0, id = 0;
//	cout<
	for (int i=1;i<=tot;i++) {
		if (i < mx) p[i] = min(p[(id<<1)-i], mx-i);
			else p[i] = 1;
		while (s[i-p[i]] == s[i+p[i]]) p[i] ++;
		if (i + p[i] > mx) mx = i + p[i], id = i;
		ans = max(ans, p[i]);
	}
//	for (int i=0;i<=tot;i++) cout<
	printf("%d\n",ans-1);
	return 0;
} 

课后例题：

• $BZOJ2084$ $Antisymmetry$
  题解见 https://blog.csdn.net/zhuchangcheng1003/article/details/102165103