【傅里叶变换与FFT】

FT DFT FFT

• 傅里叶变换
• 离散傅里叶变换
• 快速傅里叶变换

傅里叶变换FT

#。 要学习FFT(快速傅里叶变换)，首先我们要了解傅里叶变换，所谓傅里叶变换就是将一个时域信号转化为频域信号
-> 时域信号，是我们最常见的信号，就是随时间变化的信号，如下图 ，，，，，，，，，，图1-1，，，，，，，，，，

-> 频域信号， 自变量是频率，即横轴是频率，纵轴是该频率信号的幅度，如下图
，，，，，，，，，，图1-2，，，，，，，，，，

如上图就是频率为2pi的频谱图。
了解了时域与频域，接下来就说傅里叶变换,(任何连续测量的时序或信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的无限叠加)，其实傅里叶变换就是将时域信号转化为正弦频域信号(可以理解为将时域转化为频域)，其主要就是通过与计算与某一频率的正弦函数的相关性来实现，而傅里叶变化就是通过积分(与要比较的正弦波每点的乘积的累加)的形式来计算相关性，通过公式就更加了解了
其中f(t)是原函数->就是对应的时域函数如图1-1。后半部分是欧拉公式
后半部分可化为（ con(ωt) - i * sin(ωt) ）就是与原函数进行比较相似度的部分。最后就是将他们相乘再在从负无穷到正无穷进行积分(累加)的到的数值就是原函数与对比部分的相似度即 -> 原函数对应频率的幅值 通过不断调整ω，得到不同频率的幅值，最后得到 频谱图 如上图1-2.

离散傅里叶变换DFT

#。在现实中我们只能测量得到 离散的 有限的 信息，无法得到连续，无穷的信息，于是将傅里叶变换转化为离散数据可处理的公式，如下图
再通过欧拉公式转换为下图公式
公式原理与上傅里叶变换意义基本相同，只是将原公式的积分区间 从负无穷到正无穷, 改变为从0到N-1。将积分改为累加(其实积分本就是累加)。
通过以上方式就将傅里叶变换转化为离散傅里叶变换。
#。但是我们从公式观察理解就会发现有一个很大的不足，就是需要做大量的乘法与加法，很难应用到实际中，于是人们改进出快速傅里叶变换，实现将函数从时域快速转化为频域。下面就来说明快速傅里叶变换。

快速傅里叶变换FFT

#。接下来就要说明FFT了。FFT只是在DFT的基础上进行化简等效。
我们先将DFT原式化为更容易处理的式子 X(k) = ${\sum }_{n=0}^{N-1}x(n)(e^{-j\frac{2\pi k}{N}}{)}^n$
再将X(k)中的k用 $e^{-j\frac{2\pi k}{N}}$ 表示 >> A($e^{-j\frac{2\pi k}{N}}$) = ${\sum }_{n=0}^{N-1}x(n)(e^{-j\frac{2\pi k}{N}}{)}^n$
进一步 >> A(x) = ${\sum }_{i=0}^{n-1}{a}_i{x}^i$ = $a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_{n-1}{x}^{n-1}$
这样就化为我们常见的式子了。

#。接着就是FFT的核心了，分解(将A(x)的奇数项和偶数项分开)。
按A(x)下标的奇偶性把A(x)分成两项，并将后式提出一个x
A(x) =
$a_0+a_2{x}^2+...+a_{n-2}{x}^{n-2}$
$a_{1}x+a_3{x}^3+...+a_{n-1}{x}^{n-1}$
=>
$A(x)=A_1(x)+A_2(x)$
$A_1(x)=a_0+a_2{x}^2+a_4{x}^4+...+a_{n-2}{x}^{n-2}$
$A_2(x)=x(a_1+a_3{x}^2+a_5{x}^4+...+a_{n-1}{x}^{n-2})$
是不是发现了什么，是的最后结果就是
$A(x)=A_1(x^2)+x{A}_2(x^2)$ (x的范围变为原来的一半)

由上方化简DFT的第2步 x即 $e^{-\frac{j2\pi k}{N}}$ (欧拉转换-> con($\frac{2\pi k}{N}$) -j * sin($\frac{2\pi k}{N}$)
用 $w_n^k$ 来表示上式 (此处用n代表N)。

前一半：$A(w_n^k)=A_1(w_n^{2k})+x{A}_2(w_n^{2k})(k\in 0-\frac{2}{n})$
后一半：$A(w_n^{k+\frac{2}{n}})=A_1(w_n^{2k+n})+x{A}_2(w_n^{2k+n})(k\in 0-\frac{2}{n})$

又由于 $w_n^k$ 是复数，是周期函数，如图

我们可以利用单位根的性质 对DFT原式进行化简

• $w_n^k=w_{2n}^{2k}$
• $w_n^{k+\frac{n}{2}}=-w_n^{2k}$

代入化简得
$A(w_n^k)=A_1(w_{\frac{n}{2}}^k)+w_{\frac{n}{2}}^k{A}_2(w_{\frac{n}{2}}^k)(k\in 0-\frac{2}{n})$
$A(w_n^{k+\frac{2}{n}})=A_1(w_{\frac{n}{2}}^k)-w_{\frac{n}{2}}^k{A}_2(w_{\frac{n}{2}}^k)(k\in 0-\frac{2}{n})$

由此发现，一个较长的DFT可以有两个较短的DFT组成，通过不断的分解直到无法分解，
这样问题最后就分解成许多由两个元素组成的DFT，复杂问题被简化，接下来我们寻找分解规律
再对起止的数分析
很明显最后分解的顺序就是0-n的二进制数的倒序（倒序可以通过位操作轻松处理）

对分解结构化（蝴蝶操作基础）

既然发现最后分解后的顺序，我们可以直接通过蝶形算法不断 复数乘以 旋转因子 然后根据复数加减向上合并，完成FFT。注意：所有和$w$有关的计算全部要使用复数的加减乘法运算法则($w$的实部与虚部可以提前通过电脑计算出存储在程序中，减少计算量，为再次减少计算量可以通过简化只处理sin部分，不过会丢失相位信息)。