CH Round #48 - Streaming #3 (NOIP模拟赛Day1)8.9总结)

 

一、数三角形

什么叫三角形？这个应该是每个人都知道的。在本题中，我们不允许三角形出现退化的情况，即每条边的长度与每个角的大小也应大于0。

现在平面上有n个两两不重合的点，第i个点的坐标为(x[i],y[i])。你需要计算，以它们作为顶点，一共能构成的三角形的个数。注意，即使是两个全等的三角形，只要它们的位置是不同的，就认为是不同的三角形，详见样例。

暴力：看了一下n只有100，直接枚举3个顶点，用叉积或三角形三边关系（a+b>c（a<=b<=c））进行判断，n^3

给力点：可选取一个点为原点，进行极角排序，然后用同一角度的点与其他角度的用乘法原理匹配方案，为了避免180°三点共线如图：

可先将三、四象限的点旋转180°，再进行排序。

排序可用点x、y相对于z叉积大于0时，点x在y的逆时针方向，但这样会死循环（没确立起始点，角度大于180°时叉积为负，会分不清前后），由于作了以上旋转操作，没有大于180°的角，有不循环的前后之分，故不会出错。附代码：

#include

 

02

#include

 

03

#include

 

04

#include

 

05

#include

 

06

#include

 

07

#include

 

08

#include

 

09

#include

 

10

#include

 

11

#include

 

12

#include

 

13

#include

 

14	using namespace std;

 

15	int n,i,j,k,ans,tot;

 

16	double x[110],y[110],s;

 

17	int main()

 

18

{

 

19

cin>>n;

 

20	for(i=1;i<=n;i++)

 

21

{

 

22	cin>>x[i]>>y[i];

 

23

}

 

24	for(i=1;i<=n;i++)

 

25	for(j=i+1;j<=n;j++)

 

26	for(k=j+1;k<=n;k++)

 

27

{

 

28	/*double xx=sqrt((x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]));

 

29	double yy=sqrt((x[i]-x[k])*(x[i]-x[k])+(y[i]-y[k])*(y[i]-y[k]));

 

30	double zz=sqrt((x[j]-x[k])*(x[j]-x[k])+(y[j]-y[k])*(y[j]-y[k]));

 

31	if (xx+yy>zz&&xx+zz>yy&&yy+zz>xx)

 

32

{

 

33	if (not(x[i]==x[j]&&x[j]==x[k])&¬(y[i]==y[j]&&y[j]==y[k]))

 

34

{*/

 

35	if ((x[i]-x[j])*(y[j]-y[k])!=(x[j]-x[k])*(y[i]-y[j]))ans++;

 

36

/*}

 

37

}*/

 

38

}

 

39

cout<

 

40	}

二、4和7

萌萌哒doge突然想吃药了！

现在有一排格子，从左向右标号为0到m。doge最初在0号格子中。

一共有n堆药，第i堆药有a[i]粒，被放在b[i]格子里。

每次，萌萌哒doge可以跳到它右边4格或右边7格的位置。求它最多能吃到的药的个数。注意，doge不必跳到格子m，而是可以随时结束游戏。

做题时不知为何想不到，其实枚举一下就可发现规律：（任何题目，先打暴力，不仅可以对拍，还可以找规律，王道……）

可以调到的距离有：4、7、8、11、12、15、16、18、19、20……

可以发现，在距离大于17时都可以用4和7匹配到，此时我们是在第i个位置，用前i-1个位置的方案求解，取max时，只需将距离小于17的位置取max，大于17的，我们可以先存储一个数组s[i]表示，1~i+1的方案中的最大值，o（1）求出，取max，避免一个个枚举o（n）会超时，然后由于题目说可以随时结束游戏，那么就要用ans在更新时随时记录方案的最大值，最后输出。

三、反射镜

注：坐标平面没有边缘，光线不会因为碰到边界而中途停下，m的意义是所有镜子坐标绝对值的最大值不会超过m。

从前有一个坐标网格（其中坐标的绝对值不会超过m）。从左到右x坐标逐渐增加，而从下到上y坐标逐渐增加。

在网格中摆放着n面镜子，第i面镜子的坐标为(x[i],y[i])。镜子均与坐标轴成45°角。所以共有两种类型的镜子：“\”型和“/”型。特殊地，原点处不会有任何镜子，也不会有某个位置有多面镜子。

镜子的两个面都能够反射光线，而中间不透光，例如，对于一个“/”型镜子，从下面射入的光线会被反射到右方向，而从左面射入的光线会被反射到上方向。

现有一条光线从原点所在格子沿x轴正方向射出，求它走过$T$格路程后所在的位置。

由数据范围入手，假设我们用普通的模拟（即一面镜子一面镜子的走下去，直到走完路程为止），那么在不出现循环的情况下，要走n次，n<=100000，故可以做。而当出现循环时，易证得循环只可能从起点时出现，如图：

这时就是最后15分的差别了，最后数据将路程调至最大，然后以较小距离摆放镜子，循环走下去——超时，这时我们可以记录一下走到每个镜子面（即要分方向）的时间点，然后用当前时间点与其求差，得出循环的时间，求mod，就省去多次循环模拟的时间。

接着就得解决寻找当前镜子的后继，可以分别按横坐标、纵坐标排序，二分得出，当然，我们试验发现，每次二分找到的都是当前镜子在数组中的位置+1或-1，那么我们可以记下每面镜子在排序后两个数组中的位置，O(1)得出，起点除外，要二分，或者把它也加进去排序，再记下在数组中的位置。

依上所述，时间复杂度为nlogn+logn或o（n）+logn