【题解】洛谷P1006（CH5103）[NOIP2008T3]传纸条 线性DP

题目描述

小渊和小轩是好朋友也是同班同学，他们在一起总有谈不完的话题。一次素质拓展活动中，班上同学安排做成一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，而小渊和小轩被安排在矩阵对角线的两端，因此，他们就无法直接交谈了。幸运的是，他们可以通过传纸条来进行交流。纸条要经由许多同学传到对方手里，小渊坐在矩阵的左上角，坐标 $(1,1)$，小轩坐在矩阵的右下角，坐标 $(m,n)$ 。从小渊传到小轩的纸条只可以向下或者向右传递，从小轩传给小渊的纸条只可以向上或者向左传递。

在活动进行中，小渊希望给小轩传递一张纸条，同时希望小轩给他回复。班里每个同学都可以帮他们传递，但只会帮他们一次，也就是说如果此人在小渊递给小轩纸条的时候帮忙，那么在小轩递给小渊的时候就不会再帮忙。反之亦然。

还有一件事情需要注意，全班每个同学愿意帮忙的好感度有高有低（注意：小渊和小轩的好心程度没有定义，输入时用 $0$ 表示），可以用一个 $0-100$ 的自然数来表示，数越大表示越好心。小渊和小轩希望尽可能找好心程度高的同学来帮忙传纸条，即找到来回两条传递路径，使得这22条路径上同学的好心程度之和最大。现在，请你帮助小渊和小轩找到这样的 $2$ 条路径。

输入输出格式

输入格式：

输入文件，第一行有 $2$ 个用空格隔开的整数 $m$ 和 $n$，表示班里有 $m$ 行 $n$ 列。

接下来的 $m$ 行是一个 $m\times n$ 的矩阵，矩阵中第 $i$ 行 $j$ 列的整数表示坐在第 $i$ 行 $j$ 列的学生的好心程度。每行的 $n$ 个整数之间用空格隔开。

输出格式：

输出文件共一行，包含一个整数，表示来回 $2$ 条路上参与传递纸条的学生的好心程度之和的最大值。

输入输出样例

输入样例#1：

3 3
0 3 9
2 8 5
5 7 0

输出样例#1：

34

说明

【限制】

$30\%$ 的数据满足：$1\le m,n\le 10$
$100\%$ 的数据满足：$1\le m,n\le 50$
NOIP 2008提高组第三题

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设路径长度为 $i$，第一条路径末尾位于 $(x_1,y_1)$，第二条路径末尾位于 $(x_2,y_2)$，显然有：$$x_1+y_1=x_2+y_2=i+2$$
于是 $i,x_1,x_2$ 即可描述一个状态。
设 $F[i,x_1,x_2]$ 表示两条长度为 $i$ 的路径，第一条路径末尾位于 $(x_1,i+2-x_1)$，第二条路径末尾位于 $(x_2,i+2-x_2)$ 的最大值。（因 $y_1=i+2-x_1,y_2=i+2-x_2$）
只需讨论两个末尾是否重合，再依次扩展。

#include
#include
using namespace std;
int a[110][110],f[220][110][110],n,m;
void Move(int i,int x_1,int x_2,int nx1,int nx2,int y_1,int y_2)
{
	if(nx1==nx2)f[i+1][nx1][nx2]=max(f[i+1][nx1][nx2],f[i][x_1][x_2]+a[nx1][y_1]);
	else f[i+1][nx1][nx2]=max(f[i+1][nx1][nx2],f[i][x_1][x_2]+a[nx1][y_1]+a[nx2][y_2]);
}
int main()
{
	//freopen("in.txt","r",stdin);
	scanf("%d%d",&m,&n);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	    for(int j=1;j<=n;j++)
	        scanf("%d",&a[i][j]);
	f[0][1][1]=a[1][1];
	for(int i=0;i

总结

此题亮点在于用3个维度表示出了状态，并可以方便地进行状态转移。