莫比乌斯反演入门--化简比较烦

 

一.莫比乌斯函数

特点是，分解的素因子中有平方因子则为0，否则素因子个数奇偶性决定正负1。线性筛大全，含莫比乌斯 

 

二.莫比乌斯反演公式

用的最多是第二条性质：

已知，

可得

 

①注意反演的意义：个人拙见是类似反函数把Y=F(x)写成X=F(y)的形式，因为有时F(Y）比F(X)更容易求。

为啥引入莫比乌斯函数：实际上消去同类项，比如f(2)出现3次，必然要两项为﹢，一项为-；如果出现两次，有一项为0一项为+

具体见     用容斥实例理解莫比乌斯反演过程

 

②注意公式符号的意义，n|d代表d是n的倍数（n是d的因子），实际上求的是n的所有倍数和

这里被符号绕晕了一天（还是太菜了）

 

三.反演实例

P2257 YY的GCD

 

①列出与GCD有关的莫比乌斯反演，都是套路！

设为gcd(i,j)=d的个数，形式：

为gcd(i,j)=d的倍数的个数，

如F(2)=f(2*1)+f(2*2)+f(2*3)+...   F(n)=f(d)+f(2d)+...

这样就满足反演前提：   

 

②反演得到：（其实这步才刚开始，重点是后面的化简...）

 

③列出ANS=xxx，用f(a)代入  ，a为所求量   （注意符号的意义、范围，别被绕晕）

这题得到（设p是d的质因子，即题目要求的量）

 

④化简，最难的一步，为了缩小范围，降低复杂度（推荐多看大佬过程，这里就引用大佬的化简过程   ，还有gcd化简全总结）

注意符号的意义范围

a.F(d)显然可以直接求得

b.令    ， d是1~ min(n,m)  ，则i范围为1~ (一般想求x|y之类的范围，我喜欢令y=kx之类，好理解)

c.如果这里停手的话，复杂度仍不满足需要，因为每次分块要枚举质数p（详见bzoj2301/hdu1695 求gcd=k代码），需要令，t=p,继续化简，这样分块的时候不用枚举p

      

由和式的性质，因为t是T的因数才会有贡献，所以可以提出来

 

⑤可以预处理   线性筛大全，含莫比乌斯 

 

⑥后两项可以除法分块，记录前缀和即可，见链接

 

四.莫比乌斯反演性质

 

①

②