周末晚会

题目描述

Irena和Sirup正准备下个周末的Party。为这个Party,他们刚刚买了一个非常大的圆桌。他们想邀请每个人，但他们现在不知道如何分配座次。Irena说当有超过K个女孩座位相邻（即这些女孩的座位是连续的，中间没有男孩）的话，她们就会说一整晚的话而不和其他人聊天。
Sirup没有其他选择，只有同意她。然而，作为一名数学家，他很快地痴迷于所有可能方案。
题目说明：
N个人围绕着圆桌坐着，其中一些是男孩，另一些是女孩。你的任务是找出所有合法的方案数，使得不超过K个女孩座位是连续的。
循环同构会被认为是同一种方案。

Burnside定理

我们回忆Burnside定理：
假设第i种置换下合法不动点数量为g(i)
在n中置换的约束下，不同方案数为 ∑ni=1g(i)n
因此我们想要计算g。
这题也有n种置换，第i种就是左移i格
我们考虑如何求g[i]，首先因为左移i格不动，所以a[0]=a[i]=a[i*2]=……
什么时候会转回来呢？也就是从0开始走什么时候会回到0？
ix≡0(modn)
x≡0(modn(n,i))
所以 x=n(n,i)
于是我们知道一共有(n,i)个这样的环，出发点是0，1，2……(n,i)-1
我们现在思考，一个合法的第i种置换下不动点，不能有连续的超过k个1，首尾相接也不能有，那是什么情况呢?
首先，我们先排除k=n的情况，因为此时 g[i]=2(n,i)
然后，如果(n,i)<=k，那么只有全是1的情况才非法，因此 g[i]=2(n,i)−1
否则的话，假如整个序列一个循环节中出现连续超过k个1，那么第一个循环节内就出现连续超过k个1。如果两个循环节交交界处出现连续超过k个1，那么第一个循环节首尾相接就会出现连续超过k个1。
所以，只需要考虑一个循环节即可！
我们先预处理f[i]表示长度为i的序列，填0/1，不能有连续的超过k个1，有多少种方案。
那么 f[i]=f[i−1]∗2−f[i−k−2]
其中f初值是f[-1]=f[0]=1，其余f都为0
这个方程不难理解，在长度为i-1的基础上，末尾添0/1。
此时，非法的情况只有末尾出现k+1个1，然后这k+1个1最前有一个0（必须有这个0，因为f[i-1]说明了不添最后一个1只有k个1，因为f[i-1]合法，所以最前面必须是0，当然，也有只有k+1个1的情况，最前面没有任何东西，所以还有f[-1]=1）
求出f之后，怎么求g？
我们当然可以先让g[i]=f[(n,i)]，但是会算多。因为f并没有考虑首尾相接的情况。
于是我们尝试减去首尾相接会超的情况。
枚举右端连续1的个数为j，1<=j<=k，显然这j个1前还有有一个0
那么左端至少有k-j+1个连续1，最多能有多少个呢？最多只能有k个。
但是还有注意，现在 k<n ，我们不能让左右端加起来超过(n,i),所以左端至多只能有(n,i)-k-2个
右端下限确定了，我们来枚举增量l。
∑min(j−1,(n,i)−k−2)l=0f[(n,i)−k−l−3]
嘿嘿，右边那个玩意与j无关，因此可以预处理一下前缀和。
然后再枚举j，加上去即可。
不懂看一下代码

#include
#include
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=2000+10,mo=100000007;
int len[maxn],g[maxn],f[maxn],two[maxn],num[maxn];
int i,j,k,l,r,t,n,m,ca,ans,ni;
int gcd(int a,int b){
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
int quicksortmi(int x,int y){
    if (!y) return 1;
    int t=quicksortmi(x,y/2);
    t=(ll)t*t%mo;
    if (y%2) t=(ll)t*x%mo;
    return t;
}
void getnum(int n){
    int l;
    if (n-k-3<0) num[0]=1;
    else num[0]=f[n-k-3];
    fo(l,1,min(k-1,n-k-2)){
        num[l]=num[l-1];
        if (n-k-l-3<0) num[l]++;
        else (num[l]+=f[n-k-l-3])%=mo;
    }
}
int main(){
    freopen("t22.in","r",stdin);freopen("t2.ans","w",stdout);
    scanf("%d",&ca);
    while (ca--){
        scanf("%d%d",&n,&k);
        fo(i,1,n) len[i]=gcd(n,i);
        f[0]=1;
        fo(i,1,n){
            f[i]=(ll)f[i-1]*2%mo;
            if (i==k+1) f[i]--;
            else if (i>k+1) (f[i]-=f[i-k-2])%=mo;
        }
        if (k>=n){
            fo(i,1,n){
                t=len[i];
                g[i]=f[t];
            }
            ni=quicksortmi(n,mo-2);
            ans=0;
            fo(i,1,n) (ans+=g[i])%=mo;
            ans=(ll)ans*ni%mo;
            (ans+=mo)%=mo;
            printf("%d\n",ans);
            continue;
        }
        else if (k==1){
            fo(i,1,n){
                t=len[i];
                if (t==1) g[i]=1;
                else{
                    g[i]=f[t];
                    if (t==3) g[i]--;
                    else g[i]-=f[t-4];
                }
            }
            ni=quicksortmi(n,mo-2);
            ans=0;
            fo(i,1,n) (ans+=g[i])%=mo;
            ans=(ll)ans*ni%mo;
            (ans+=mo)%=mo;
            printf("%d\n",ans);
            continue;
        }
        fo(i,1,n){
            t=len[i];
            if (t<=k) g[i]=f[t]-1;
            else if (t==k+1) g[i]=f[t];
            else{ 
                getnum(t);
                r=0;
                fo(j,1,k) (r+=num[min(j-1,t-k-2)])%=mo;
                g[i]=(f[t]-r)%mo;
            } 
        }
        ni=quicksortmi(n,mo-2);
        ans=0;
        fo(i,1,n) (ans+=g[i])%=mo;
        ans=(ll)ans*ni%mo;
        (ans+=mo)%=mo;
        printf("%d\n",ans);
    }
}