信号与系统 Matlab 时域抽样与频域抽样

时域抽样定理给出了连续信号抽样过程中信号不失真的约束条件：对于基带信号，信号抽样频率大于等于2倍的信号最高频率，即。
时域抽样是把连续信号x(t)变成适于数字系统处理的离散信号x[k] ；信号重建是将离散信号x[k]转换为连续时间信号x(t)。
非周期离散信号的频谱是连续的周期谱。计算机在分析离散信号的频谱时，必须将其连续频谱离散化。频域抽样定理给出了连续频谱抽样过程中信号不失真的约束条件。

1. 为了观察连续信号时域抽样时抽样频率对抽样过程的影响，在[0，0.1]区间上以50Hz的抽样频率对下列3个信号分别进行抽样，试画出抽样后序列的波形，并分析产生不同波形的原因，提出改进措施。
   
   
   
   答： matlab代码如下：

f0=10; %基波频率，分别取10;50;100
f=50; T=1/f; %采样频率f,采样间隔T
t=0:0.001:0.1; 
n=0:T:0.1;
xt=cos(2*pi*f0*t);  %原信号
xn=cos(2*pi*f0*n);  %采样信号
plot(t,xt);
hold on;
stem(n,xn);

x1(t)采样结果：

x2(t)采样结果：

x3(t)采样结果：

结果分析： 采样频率50Hz，原信号x1(t),x2(t),x3(t)的基波频率分别为10Hz，50Hz,100Hz。
故采样序列x1[n]在一个周期内有五个采样点，可大致看出原信号的正弦波形式。而信号x2(t)的采样频率与基波频率相同，每个周期只采样一个点，x2[n]表现为等间隔脉冲序列。x3(t)的采样频率只有基波频率的一半，故每两个周期采样一个点，x3[n]也是等间隔脉冲序列。可见对于频率较大的周期信号，采样频率应尽可能的大，一般为,采样信号才会更接近原信号。

2.产生幅度调制信号，推导其频率特性，确定抽样频率，并绘制波形。
答：幅度调制信号载波频率100Hz,故取采样频率200Hz。matlab程序如下：

t=0:0.001:1;
xt=cos(2*pi*t).*cos(200*pi*t); %原信号
f=200; T=1/f; %采样频率f,采样间隔T
n=0:T:1;
xn=cos(2*pi*n).*cos(200*pi*n); %采样信号
plot(t,xt);
hold on;
stem(n,xn);

3. 对连续信号进行抽样以得到离散序列，并进行重建。
(1) 生成信号x(t)，时间t=0:0.001:4，画出的波形。
(2) 以对fsam=10Hz信号进行抽样，画出在0＜t<=1范围内的抽样序列x[k]；利用抽样内插函数恢复连续时间信号，画出重建信号的波形xr(t)。xr(t)与x(t)是否相同，为什么？
(3) 将抽样频率改为，重做(2)。
答：(1)

t=0:0.001:4; 
x=cos(4*pi*t);
plot(t,x);

(2)

fs=10; Ts=1/fs;
L=1;
t=0:0.001:L; 
x=cos(4*pi*t);
subplot(2,1,1);
plot(t,x);
hold on;
n=0:fs*L;
tn=n*Ts;
x1=cos(4*pi*tn);
stem(tn,x1);
axis([0,1,-1.2,1.2]);
xlabel('x(t) and x[k]');
xr=x1*sinc( fs* ( ones(length(n),1) * t - tn' * ones(1,length(t))));
subplot(2,1,2);
plot(t,xr);
axis([0,1,-1.2,1.2]);
xlabel('xr(t)');

还原出的信号xr(t)与原信号x(t)基本相同，但由于低通滤波器不是完全理想的，xr(t)与x(t)之间存在略微的误差。

（3）将（2）中代码fs=10改成fs=3，结果如下：

不能还原出原信号x(t)，这是因为x(t)的基波频率为fm=2，故采样频率fsam必须大于等于2fm，即fsam>=4，才能保证频谱不发生混叠，从而通过抽样内插函数恢复出原信号。

4. 已知序列x[k]={1，3，2，-5；k=0, 1, 2, 3}, 分别取N=2，3，4，5对其频谱进行抽样，再由频率抽样点恢复时域序列，观察时域序列是否存在混叠，有何规律？
   答：

k=[0,1,2,3];
x=[1,3,2,-5];
n=1000;
w=[0:n-1]*2*pi/n;
X=fft(x,n);  %频谱
subplot(2,1,1);
plot(w,abs(X));
hold on ;
N=2;    %分别取N=2，3，4，5
wn=[0:N-1]*2*pi/N;
Xn=[];      %频谱抽样序列
for i=0:N-1
    Xn=[Xn,X(1+fix(i*n/N))];
end
stem(wn,abs(Xn));
x1=ifft(Xn); %还原的时域序列
subplot(2,1,2);
stem([0:N-1],x1);

运行结果：
N=2

N=3

N=4

N=5

当取N=2，3时，时域序列发生了混叠；取N=4，5时，可以恢复出原时域序列x[k]。可见对于有限长的M点离散时间信号的频域采样，必须以为频域的采样间隔，其中N为整数，且满足，才能恢复出不发生混叠的时域序列。