- 数列极限概念
- 数列
- 数列的极限
- 实例
- 数列极限的通俗定义
- 数列极限的定义
- 数列极限的几何定义
- 用极限定义证明极限的例题
- 收敛数列的性质
- 四个法则
- 运算法则
- 单调有界定理
- OStolz定理
- 公理Cauchy收敛准则
数列极限概念
数列
定义
如果按照某一法则, 对每一 n∈N+ ,对应着一个确定的实数 xn , 则得到一个序列。
这一序列叫做数列, 记为{ xn }, 其中第n项{ xn }叫做数列的一般项.
几何意义
数列{ xn }能看作数轴上的一个动点, 依次取数轴上的点 x1,x2,x3,⋅⋅⋅,xn,⋅⋅⋅
数列与函数
数列{ xn }可以看作自变量为正整数n的函数:
xn=f(n),n∈N+
数列的极限
实例
圆的面积:
圆是曲边形,它的内接正多边形是直边形,二者有本质的区别.但是这个区别又不是绝对的,在一定条件下,圆的内接正多边形的面积能够转化成该圆面积.这个条件就是“当圆的内接正多边形的边数无限增加时”,注意其中“无限”二字。因此在无限过程中,直边形才能转化为曲边形,即在无限的过程中,由直边形的面积数列{Pn}得到了曲边形的面积, 如果仅停留在有限过程或没完没了的变化下去,人们永远也认识不了圆的面积,但是飞跃式的思维方法,不仅使人们看到数列{Pn}的变化是没完没了,永无终结的.同时它又使人们看到了无限变化过程中飞跃式的“终结”,从而人们也就认识了圆的面积。这就是极限的思想和方法在计算圆的面积上的应用。
根据以上的分析,圆的面积可以这样定义:若圆的内接正多边形的面积数列 { Pn } 稳定于某个数a(当n无限增大时),则称a是该圆的面积。
数列极限的通俗定义
当n无限增大时, 如果数列{ xn }的一般项 xn 无限接近于常数a, 则常数a称为数列{ xn }的极限, 或称数列{ xn }收敛于a, 记为
limn→∞xn=a
- 分析
当n无限增大时, xn 无限接近于a .
⇔ 当n无限增大时, |xn−a| 无限接近于0 .
⇔ 当n无限增大时, |xn−a| 可以任意小, 要多小就能有多小.
⇔ 当n增大到一定程度以后, |xn−a| 能小于事先给定的任意小的正数.
因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xn−a| 能小于事先给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn 无限接近于常数a.i
将” xn 无限接近于a“,数学符号化为“ ∀ϵ>0,|xn−a|<ϵ ”
将“ n 无限大时”,数学符号化为 ∃N,n>N
数列极限的定义
limn→∞xn=a⇔∀ϵ>0,∃N∈N+,s.t.n>N,|xn−a|<ϵ
- 注
- 此定义习惯上称为极限的 ϵ—N 定义,它用两个动态指标 ϵ 和 N 刻画了极限的实质,用 |xn-a|<ϵ 定量地刻画了 xn 与 a 之间的距离任意小,即任给 ϵ>0 标志着“要多小”的要求,用 n>N 表示 n 充分大。这个定义有三个要素:正数 ϵ ,正数 N ,不等式 |xn-a|<ε(n>N)
- 定义中的 ϵ 具有二重性:一是 ϵ 的任意性,二是 ϵ 的相对固定性。 ϵ 的二重性体现了 xn 逼近 a 时要经历一个无限的过程(这个无限过程通过 ϵ 的任意性来实现),但这个无限过程又要一步步地实现,而且每一步的变化都是有限的(这个有限的变化通过 ϵ 的相对固定性来实现)。
- 定义中的N是一个特定的项数,与给定的ε有关。重要的是它的存在性,它是在 ϵ 相对固定后才能确定的,且由 |xn-a|<ϵ 来选定,一般说来, ϵ 越小, N 越大,但须注意,对于一个固定的 ϵ ,合乎定义要求的 N 不是唯一的。用定义验证 xn 以 a 为极限时,关键在于设法由给定的 ϵ ,求出一个相应的 N ,使当 n>N 时,不等式 |xn-a|<ϵ 成立。
- 定义中的不等式 |xn-a|<ε(n>N) 是指下面
一串不等式 |xN+1|<ϵ,|xN+2|<ϵ,|xN+3|<ϵ,⋅⋅⋅ 。而对 |x1|<ϵ,|x2|<ϵ,|x3|<ϵ,⋅⋅⋅ 不一定要求其成立。
数列极限的几何定义
∀ϵ>0,∃N∈N+,s.t.n>N,|xn−a|<ϵ⇔∀ϵ>0,∃N,使得N项以后的所有项都落在a的领域(a−ϵ,a+ϵ)内
因而在这个领域之外至多能有数列中的有限个点
这就表明数列{
xn }所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点
a 的任意小邻域内,同时也表明数列{
xn }中的项到一定程度时变化就很微小,呈现出一种稳定的状态,这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。
用极限定义证明极限的例题
1.求证
limn→∞n+(−1)n−1n=1
证明
因为∀ϵ>0,∃N=[1ϵ]∈N+,当n>N时,有|xn−1|=|n+(−1)n−1n−1|=1n<ϵ所以limn→∞n+(−1)n−1n=1
收敛数列的性质
四个法则
1.一个收敛数列的极限唯一。
证明:反证法。
假设{ xn }存在两个极限 a,b, 且 a<b 。
取 ϵ<b−a2,若xn∈(a−ϵ,a+ϵ),则xn一定不满足xn∈(b−ϵ,b+ϵ)
2.收敛数列有界。
( 数列{an}有界⇔∃m,M∈R,s.t.∀n∈N+,m<=xn<=M )
证明:
设limn→∞xn=x,取ϵ=1,则∃N,s.t.∀n>N,x−1<xn<x+1又因为N有限,所以存在界限。(由定义可得)
3.保序性:
limn→∞an=a,limn→∞bn=b,a<b⇒∃N,s.t.∀n>N,an<bn
证明是显然的。
注意: ∃N,s.t.∀n>N,an<bn⇒a<=b
4.夹逼性:
有三个数列{an},{bn},{cn}。∃N,s.t.∀n>=N,an<=bn<=cn,limn→∞an=limn→∞cn=A⇒limn→∞bn=A
运算法则
设limn→∞an=A,limn→∞an=B。那么1.limn→∞(αan+βbn)=A=αA+βB2.limn→∞(αan−βbn)=A=αA−βB3.limn→∞(an⋅bn)=A⋅B4.limn→∞anbn=AB
例题:
1.求
limn→∞(1+12+13+⋅⋅⋅+1n)1n
解:
1=11n<=(1+12+13+⋅⋅⋅+1n)1n<=n1n又因为limn→∞n1n=1所以limn→∞(1+12+13+⋅⋅⋅+1n)1n=1
上面的证明涉及证明
limn→∞n1n=1
这里给出证明方法:
二项式定理
(a+b)n=∑r=0nCrnan−r⋅br其中Crn=n!r!(n−r)!
证明:
易知n1n>=1,不妨设n1n=1+yn。n=(1+yn)n=∑r=0nCrn1n−r⋅yrn>1+n(n−1)2y2n⇒yn<(2n)12由定义,任取ϵ,存在N使yN<ϵ,只需取N使yN<(2N)12<ϵ对于任意n>N,有yn<(2n)12<(2N)12<ϵ,得证。
2.求
limn→∞(1112+n+1212+n+⋅⋅⋅+1n12+n)
解:
nn12+n<=(1112+n+1212+n+⋅⋅⋅+1n12+n)<=nn=1
又
limn→∞nn12+n=limn→∞11+n−12=11+limn→∞n−12=1
所以
limn→∞(1112+n+1212+n+⋅⋅⋅+1n12+n)=1
3.求
limn→∞1⋅3⋅5⋅⋅⋅(2n−1)2⋅4⋅6⋅⋅⋅2n
解:
0<1⋅3⋅5⋅⋅⋅(2n−1)2⋅4⋅6⋅⋅⋅2n=1⋅3⋅3⋅5⋅5⋅(2n−3)⋅(2n−1)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√⋅2n−1−−−−−√2⋅4⋅6⋅⋅⋅2n<(2n−1)−−−−−−−√2n
易得
limn→∞1⋅3⋅5⋅⋅⋅(2n−1)2⋅4⋅6⋅⋅⋅2n=0
4.求
limn→∞p1n(p>0)
解:
当p=1时,易知limn→∞p1n(p>0)=1当p>1,易知p1n>1,不妨设p1n=1+y由二次项定理p=(1+y)n=∑r=0n1n−r⋅yr>1+ny。则y<p−1n。证明方法同上。limn→∞p1n(p>1)=1当p<1时,p1n=11p1n此时limn→∞1p1n(1p>0)=1所以limn→∞p1n(0<p<1)=1
综上
limn→∞p1n=1(p>0)
5.求
limn→∞n(n2+1−−−−−√−n2−1−−−−−√)
解:
limn→∞n(n2+1−−−−−√−n2−1−−−−−√)=limn→∞2nn2+1−−−−−√+n2−1−−−−−√=limn→∞2n−2+1−−−−−−√+n−2−1−−−−−−√=1
单调有界定理
单调递增(递减)且有上界(下界)的数列必定收敛。
e.g.
limn→∞(1+1n)n=elimn→∞n⋅sin180∘n
(证明略)
limn→∞(1+12n)n=limn→∞(1+12n)2n−−−−−−−−−√=limn→∞(1+12n)2n−−−−−−−−−−−−√=e√
1<=limn→∞(1+1n2)n=limn→∞(1+1n2)n2−−−−−−−−−√n<=limn→∞e√n=1
limn→∞(1−1n)n=limn→∞(11+1n−1)n=1e
O’Stolz定理
1.设{yn}严格单调递增到∞,若limn→∞xn−xn−1yn−yn−1=A,则limn→∞xnyn=A2.设{yn}严格单调递减且趋于0,limn→∞xn=0,若limn→∞xn−xn−1yn−yn−1=A,则limn→∞xnyn=A
例题:
1.求
limn→∞1k+2k+⋅⋅⋅+nknk+1
解:
设xn=1k+2k+⋅⋅⋅+nk,yn=nk+1limn→∞xnyn=limn→∞xn−xn−1yn−yn−1=limn→∞nknk+1−(n−1)k+1=limn→∞nkCkk+1nk+f(n)(deg(f(n)=k−1))=1k+1
2.已知
x1=1,xn=1+xn−11+xn−1
求
limn→∞xn
解:
因为x2=32>x1,x3=1+x21+x2>1+x11+x1=x2所以xn严格单调递增又又因为xn=xn−11+xn−1<2所以xn必收敛,设limn→∞xn=Alimn→∞xn=1+limn→∞xn−11+xn−1解方程得A=1+5√2
公理:Cauchy收敛准则
{xn}收敛⇔∀ϵ>0,∃N,s.t.n,m>N,|xn−xm|<ϵ
- 调和数列 {xn} , xn=1+12+13+⋅⋅⋅+1n 不是收敛数列,因为它无法满足Cauchy收敛准则
例题
1.求
limn→∞3n+n33n+1+(n+1)3
解:
limn→∞3n+n33n+1+(n+1)3=limn→∞1+n33n3+(n+1)33n=13
2.求
limn→∞nlgn−−−−√