模拟赛 我的朋友们（分治NTT）
题意：
有一个长度为 n n n的序列，序列上每个位置有一个物品，每个物品在每次被询问到的时候有 p i p_i pi的概率被拒绝，考虑这样一个过程：先取前 L L L个物品，然后每次对这 L L L个物品都询问，如果有 x x x个物品被拒绝，则将前 x x x个物品丢弃，然后从未被选取的物品中选取最靠前的 x x x个物品重复这个过程，当总物品数 < L \lt L <L时停止，问期望询问多少组次。
n , L ≤ 1 e 5 n , L \leq 1e5 n,L≤1e5，
m o d 998244353 \bmod 998244353 mod998244353
可以写出 n 2 d p n^2dp n2dp
f i f_i fi表示现在手上的物品是 [ i , i + L − 1 ] [i,i+L-1] [i,i+L−1]时期望还需要多少步。
f i = ∑ j = 1 L f i , j ( [ x j ] ∏ k = i i + L − 1 p k x + ( 1 − p k ) ) 1 − ∏ j = 0 L − 1 ( 1 − p i + j ) f_i = \frac {\sum_{j=1}^L f_{i,j}\left([x^j]\prod_{k=i}^{i+L-1}p_{k}x+(1-p_k)\right)}{1 - \prod_{j=0}^{L-1} (1 - p_{i+j})} fi=1−∏j=0L−1(1−pi+j)∑j=1Lfi,j([xj]∏k=ii+L−1pkx+(1−pk))
下面那个可以简单 O ( n ) O(n) O(n)计算，
上面那个。。。
凭什么这个 d p dp dp要平白无故地处理多个多项式还开 1 e 5 ？ 1e5？ 1e5？
你可以拿起笔，在草稿纸上涂涂画画，写下一堆形如“ H ( u , x ) = u k ( p k x + ( 1 − p k ) ) H(u,x)=u^k(p_{k}x+(1-p_k)) H(u,x)=uk(pkx+(1−pk))”的东西，然后拍案而起：“不会做，自闭了，我要去洗澡！”
你也可以平心静气，突然发现，唉，上面的多项式长得都差不多啊，然后安静地度过一天。
其实上面那个式子是可以分治 N T T NTT NTT的。
首先差卷积不太爽，我们将 p p p翻转，那么我们实际上也就是把 f f f也翻转了，最后的答案就是 f n f_n fn。
设 F j ( x ) = ∑ i = 1 j f i x i F_j(x) = \sum_{i=1}^j f_ix^i Fj(x)=∑i=1jfixi
则在 j < L j \lt L j<L时 F j ( x ) = 0 F_j(x) = 0 Fj(x)=0
j ≥ L j \geq L j≥L时 F j ( x ) = [ x j ] F j − 1 ( x ) P i ( x ) 1 − ∏ j = 0 L − 1 ( 1 − p i − j ) F_j(x) = \frac {[x^j]F_{j-1}(x)P_i(x)}{1 - \prod_{j=0}^{L-1} (1 - p_{i-j})} Fj(x)=1−∏j=0L−1(1−pi−j)[xj]Fj−1(x)Pi(x)
其中 P i ( x ) = ∏ j = 0 L − 1 p j x + ( 1 − p j ) P_i(x) = \prod_{j=0}^{L-1} p_jx + (1-p_j) Pi(x)=∏j=0L−1pjx+(1−pj)
然后考虑自顶向下的分治 N T T NTT NTT。
当前我们在 [ l , r ] [l,r] [l,r]，拥有
A l , r ( x ) = F l − 1 × ∏ r − L + 1 ≤ i ≤ l p i x + 1 − p i A_{l,r}(x) = F_{l-1} \times \prod_{r-L+1 \leq i \leq l} p_ix + 1-p_i Al,r(x)=Fl−1×r−L+1≤i≤l∏pix+1−pi
和
B l , r ( x ) = ∏ r − L + 1 ≤ i ≤ l p i x + 1 − p i B_{l,r}(x) = \prod_{r-L+1 \leq i \leq l} p_ix + 1-p_i Bl,r(x)=r−L+1≤i≤l∏pix+1−pi
那么可以发现如果 l = r l = r l=r，则 A l , l ( x ) = F l − 1 ( x ) × P l ( x ) A_{l,l}(x) = F_{l-1}(x) \times P_l(x) Al,l(x)=Fl−1(x)×Pl(x)
就是我们想要的东西，求个第 l l l项即可。
考虑怎么在走到 [ l , m i d ] [l,mid] [l,mid]和 [ m i d + 1 , r ] [mid+1,r] [mid+1,r]的时候快速的维护出 A l , m i d , A m i d + 1 , r , B l , m i d , B m i d + 1 , r A_{l,mid},A_{mid+1,r},B_{l,mid},B_{mid+1,r} Al,mid,Amid+1,r,Bl,mid,Bmid+1,r。
当 r r r变成 m i d mid mid时，可以发现我们可以直接
A l , m i d = A l , r × ∏ i = m i d + 1 r p i − L x + 1 − p i − L A_{l,mid} = A_{l,r}\times \prod_{i=mid+1}^r p_{i-L}x + 1 - p_{i-L} Al,mid=Al,r×∏i=mid+1rpi−Lx+1−pi−L
B l , m i d = B l , r × ∏ i = m i d + 1 r p i − L x + 1 − p i − L B_{l,mid} = B_{l,r}\times \prod_{i=mid+1}^r p_{i-L}x + 1 - p_{i-L} Bl,mid=Bl,r×∏i=mid+1rpi−Lx+1−pi−L
当 l l l变成 m i d + 1 mid+1 mid+1时，我们可以直接
A m i d + 1 , r = A l , r × ∏ i = l + 1 m i d + 1 p i − L x + 1 − p i − L + ( F m i d ( x ) − F l − 1 ( x ) ) × B m i d + 1 , r A_{mid+1,r} = A_{l,r}\times \prod_{i=l+1}^{mid+1} p_{i-L}x + 1 - p_{i-L} + (F_{mid}(x) - F_{l-1}(x)) \times B_{mid+1,r} Amid+1,r=Al,r×∏i=l+1mid+1pi−Lx+1−pi−L+(Fmid(x)−Fl−1(x))×Bmid+1,r
B m i d + 1 , r = B l , r × ∏ i = l + 1 m i d − 1 p i − L x + 1 − p i − L B_{mid+1,r} = B_{l,r}\times \prod_{i=l+1}^{mid-1} p_{i-L}x + 1 - p_{i-L} Bmid+1,r=Bl,r×∏i=l+1mid−1pi−Lx+1−pi−L
把后面的全部分治 N T T NTT NTT预处理出来即可简单转移、
但是当你写出上面的式子的时候你就 n a i v e naive naive了，所谓细节调一年。
上面的式子其实应该是：
A l , m i d = A l , r × ∏ i = m i d + 1 min ( r , l + L ) p i − L x + 1 − p i − L A_{l,mid} = A_{l,r}\times \prod_{i=mid+1}^{\min(r,l+L)} p_{i-L}x + 1 - p_{i-L} Al,mid=Al,r×∏i=mid+1min(r,l+L)pi−Lx+1−pi−L
B l , m i d = B l , r × ∏ i = m i d + 1 min ( r , l + L ) p i − L x + 1 − p i − L B_{l,mid} = B_{l,r}\times \prod_{i=mid+1}^{\min(r,l+L)} p_{i-L}x + 1 - p_{i-L} Bl,mid=Bl,r×∏i=mid+1min(r,l+L)pi−Lx+1−pi−L
A m i d + 1 , r = A l , r × ∏ i = max ( r − L + 1 , l + 1 ) m i d + 1 p i − L x + 1 − p i − L + ( F m i d ( x ) − F l − 1 ( x ) ) × B m i d + 1 , r A_{mid+1,r} = A_{l,r}\times \prod_{i=\max(r-L+1,l+1)}^{mid+1} p_{i-L}x + 1 - p_{i-L} + (F_{mid}(x) - F_{l-1}(x)) \times B_{mid+1,r} Amid+1,r=Al,r×∏i=max(r−L+1,l+1)mid+1pi−Lx+1−pi−L+(Fmid(x)−Fl−1(x))×Bmid+1,r
B m i d + 1 , r = B l , r × ∏ i = max ( r − L + 1 , l + 1 ) m i d − 1 p i − L x + 1 − p i − L B_{mid+1,r} = B_{l,r}\times \prod_{i=\max(r-L+1,l+1)}^{mid-1} p_{i-L}x + 1 - p_{i-L} Bmid+1,r=Bl,r×∏i=max(r−L+1,l+1)mid−1pi−Lx+1−pi−L
然后你仔细思考这个取 max \max max和取 min \min min，
以取 min \min min为例：
当 l + L < r l+L \lt r l+L<r时，
若 l + L < m i d + 1 l+L \lt mid+1 l+L<mid+1则原多项式为 1 1 1。
否则，只有一个 r r r可以使得 m i d + 1 ≤ l + L < r mid +1 \leq l+L \lt r mid+1≤l+L<r。
对于这种情况直接再暴力一个自下而上的分治 N T T NTT NTT再算一遍即可。（但是好像网上其他解法有些可以避开这种情况的高论。）
其他情况可以一个自下而上的分治 N T T NTT NTT搞定。
还有一些细节比如说 A l , r ( x ) A_{l,r}(x) Al,r(x)我们应该只保留次数在 [ x l − ( r − l + 1 ) , x r ] [x^{l-(r-l+1)} , x^r] [xl−(r−l+1),xr]之间的项来保证复杂度正确。
对于 B l , r ( x ) B_{l,r}(x) Bl,r(x)只保留次数在 [ x l , x r + ( r − l + 1 ) ] [x^l,x^{r + (r-l+1)}] [xl,xr+(r−l+1)]之间的项。
A C C o d e \mathcal AC \ Code AC Code
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